Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco: F(0,0), eixo: y = 0 e passa por A(3,4)
Eu consegui chegar à resposta ([tex3]y^{2}[/tex3]
-4x-4=0, (-1,0), (0,+-2)), mas meu amigo disse que encontrou duas diretrizes (???). Como explicar pra ele que há só uma?
Ensino Médio ⇒ Equação de parábola
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amandasousam
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Out 2014
26
10:45
Equação de parábola
Editado pela última vez por amandasousam em 26 Out 2014, 10:45, em um total de 1 vez.
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jedi
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Out 2014
26
13:35
Re: Equação de parábola
Seira interessante ter uma explicação do seu amigo como ele chegou em duas diretrizes
realmente você esta certa só existe uma.
realmente você esta certa só existe uma.
Jun 2023
22
23:24
Re: Equação de parábola
Alguém poderia explicar como fazer está questão estou tendo algumas dificuldades em como faze-la
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FelipeMartin
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Jun 2023
23
00:24
Re: Equação de parábola
NoAnalise, quando o eixo é vertical, sabemos que as parábolas são descritas pela equação: [tex3]y = ax^2+bx+c[/tex3]
e a coordenada [tex3]x[/tex3]
do vértice é dada por [tex3]-\frac{b}{2a}[/tex3]
no caso, a reta [tex3]y=0[/tex3] é horizontal, logo, a equação da parábola fica na forma: [tex3]x = ay^2+by+c[/tex3] e a coordenada [tex3]y[/tex3] do vértice é [tex3]-\frac{b}{2a}[/tex3] que é a mesma coordenada [tex3]y[/tex3] do foco [tex3](0,0)[/tex3] , donde [tex3]b=0[/tex3]
[tex3]x = ay^2+c[/tex3]
Como a parábola passa pelo ponto [tex3](3,4)[/tex3] , temos: [tex3]3 = a \cdot 4^2 + c \iff c+16a=3[/tex3] .
Então, nossa parábola tem a forma [tex3]x = ay^2 + 3 - 16a[/tex3] só precisamos agora usar o foco da parábola.
O que é o foco de uma parábola? É o ponto tal que a distância de qualquer ponto P da parábola até ele é a mesma distância da distância de P até a reta diretriz.
Tomemos o ponto [tex3]A[/tex3] . A distância de [tex3]A[/tex3] até [tex3]F[/tex3] é:
[tex3]d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = (3-0)^2+(4-0)^2 = 25 \implies d=5[/tex3]
sabemos também que a diretriz é sempre perpendicular ao eixo de simetria, logo, tem equação da forma [tex3]x = c[/tex3] pra alguma constante [tex3]c[/tex3] real.
A distância entre [tex3]A[/tex3] e a diretriz deve ser [tex3]5[/tex3] (mesma distância do foco da parábola), logo, [tex3]3-c = 5 \implies c =-2[/tex3] .
Essa é a nossa diretriz: [tex3]x=-2[/tex3] . Essa diretriz corta o eixo de simetria no ponto [tex3]B=(-2,0)[/tex3] . O vértice da parábola é o ponto médio do foco e esse ponto: [tex3]V = \frac{F+B}2 = \frac{(0,0)+(-2,0)}2 = (-1,0)[/tex3] . Pronto:
[tex3]-1 = a\cdot0^2 +3-16a \implies a = \frac1{4}[/tex3]
Nossa parábola é: [tex3]x = \frac{y^2}{4} -1[/tex3]
no caso, a reta [tex3]y=0[/tex3] é horizontal, logo, a equação da parábola fica na forma: [tex3]x = ay^2+by+c[/tex3] e a coordenada [tex3]y[/tex3] do vértice é [tex3]-\frac{b}{2a}[/tex3] que é a mesma coordenada [tex3]y[/tex3] do foco [tex3](0,0)[/tex3] , donde [tex3]b=0[/tex3]
[tex3]x = ay^2+c[/tex3]
Como a parábola passa pelo ponto [tex3](3,4)[/tex3] , temos: [tex3]3 = a \cdot 4^2 + c \iff c+16a=3[/tex3] .
Então, nossa parábola tem a forma [tex3]x = ay^2 + 3 - 16a[/tex3] só precisamos agora usar o foco da parábola.
O que é o foco de uma parábola? É o ponto tal que a distância de qualquer ponto P da parábola até ele é a mesma distância da distância de P até a reta diretriz.
Tomemos o ponto [tex3]A[/tex3] . A distância de [tex3]A[/tex3] até [tex3]F[/tex3] é:
[tex3]d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = (3-0)^2+(4-0)^2 = 25 \implies d=5[/tex3]
sabemos também que a diretriz é sempre perpendicular ao eixo de simetria, logo, tem equação da forma [tex3]x = c[/tex3] pra alguma constante [tex3]c[/tex3] real.
A distância entre [tex3]A[/tex3] e a diretriz deve ser [tex3]5[/tex3] (mesma distância do foco da parábola), logo, [tex3]3-c = 5 \implies c =-2[/tex3] .
Essa é a nossa diretriz: [tex3]x=-2[/tex3] . Essa diretriz corta o eixo de simetria no ponto [tex3]B=(-2,0)[/tex3] . O vértice da parábola é o ponto médio do foco e esse ponto: [tex3]V = \frac{F+B}2 = \frac{(0,0)+(-2,0)}2 = (-1,0)[/tex3] . Pronto:
[tex3]-1 = a\cdot0^2 +3-16a \implies a = \frac1{4}[/tex3]
Nossa parábola é: [tex3]x = \frac{y^2}{4} -1[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jun 2023
23
14:58
Re: Equação de parábola
FelipeMartin escreveu: ↑23 Jun 2023, 00:24 NoAnalise
Como a parábola passa pelo ponto [tex3](3,4)[/tex3] , temos: [tex3]3 = a \cdot 4^2 + c \iff c+16a=3[/tex3] .
Então, nossa parábola tem a forma [tex3]x = ay^2 + 3 - 16a[/tex3] só precisamos agora usar o foco da parábola.
O que é o foco de uma parábola? É o ponto tal que a distância de qualquer ponto P da parábola até ele é a mesma distância da distância de P até a reta diretriz.
Tomemos o ponto [tex3]A[/tex3] . A distância de [tex3]A[/tex3] até [tex3]F[/tex3] é:
[tex3]d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = (3-0)^2+(4-0)^2 = 25 \implies d=5[/tex3]
sabemos também que a diretriz é sempre perpendicular ao eixo de simetria, logo, tem equação da forma [tex3]x = c[/tex3] pra alguma constante [tex3]c[/tex3] real.
A distância entre [tex3]A[/tex3] e a diretriz deve ser [tex3]5[/tex3] (mesma distância do foco da parábola), logo, [tex3]3-c = 5 \implies c =-2[/tex3] .
Essa é a nossa diretriz: [tex3]x=-2[/tex3] . Essa diretriz corta o eixo de simetria no ponto [tex3]B=(-2,0)[/tex3] . O vértice da parábola é o ponto médio do foco e esse ponto: [tex3]V = \frac{F+B}2 = \frac{(0,0)+(-2,0)}2 = (-1,0)[/tex3] . Pronto:
[tex3]-1 = a\cdot0^2 +3-16a \implies a = \frac1{4}[/tex3]
Nossa parábola é: [tex3]x = \frac{y^2}{4} -1[/tex3]
Não estou conseguindo pegar a ideia de com fazer pra decobrir o vertice. As definições e etc eu consigo entender, porém não consigo sair dessa parte pra entender como extrair o vétice
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FelipeMartin
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Jun 2023
23
19:54
Re: Equação de parábola
NoAnalise, aqui:
Temos o foco, o eixo de simetria e a diretriz.
Seja [tex3]X[/tex3] o ponto de encontro do eixo de simateria com a diretriz.
Podemos definir o vértice da parábola como o encontro do eixo de simetria com a própria parábola.
Pela definição de parábola, [tex3]XV=FV[/tex3] (pois [tex3]XV[/tex3] é a distância de [tex3]V[/tex3] até a diretriz e [tex3]VF[/tex3] é a distância de [tex3]V[/tex3] até o foco). Então, [tex3]V[/tex3] é ponto médio de [tex3]FX[/tex3] . Foi isso o que eu usei.
- paravola.png (22.19 KiB) Exibido 226 vezes
Seja [tex3]X[/tex3] o ponto de encontro do eixo de simateria com a diretriz.
Podemos definir o vértice da parábola como o encontro do eixo de simetria com a própria parábola.
Pela definição de parábola, [tex3]XV=FV[/tex3] (pois [tex3]XV[/tex3] é a distância de [tex3]V[/tex3] até a diretriz e [tex3]VF[/tex3] é a distância de [tex3]V[/tex3] até o foco). Então, [tex3]V[/tex3] é ponto médio de [tex3]FX[/tex3] . Foi isso o que eu usei.
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