Olá caros usuários.

Primeiramente, peço-lhes desculpas pelo ocorrido.

Fui fazer a atualização do software do fórum e, como se eu fosse um novato, cometi um erro crasso que derrubou o fórum.

Novato pois não havia feito o backup imediatamente antes.

O único backup disponível era do dia 21 pela manhã.

Ou seja, todas mensagens enviadas durante o dia 21 e dia 22 foram perdidas 😞 Incluindo os novos usuários registrados nesses dias.

Estou extremamente chateado com o ocorrido e peço a vocês, novamente, mil desculpas por uma mancada enorme dessas.

Grande abraço,
Prof. Caju

DemonstraçõesDemonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.
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FelipeMartin
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Mai 2021 08 21:55

Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por FelipeMartin »

Dado o [tex3]\triangle ABC[/tex3]; seja [tex3]O[/tex3] o seu incentro, sejam [tex3]D,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] os pontos de contato de seu incírculo com os lados [tex3]BC, AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente, seja [tex3]G[/tex3] o pé da altura de [tex3]B[/tex3] em relação à bissetriz interna do vértice [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3]; então [tex3]G,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são colineares.
teorema_retaEF.png
teorema_retaEF.png (46.09 KiB) Exibido 4580 vezes
Prova:

Sejam [tex3]a := \angle BAC, b := \angle ABC[/tex3] e [tex3]c := \angle ACB[/tex3]. Como o [tex3]\triangle FAE[/tex3] é [tex3]A-[/tex3] isósceles (por Pitot), então [tex3]\angle AFE = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3].

Repare que [tex3]\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{(b+c)}2 = 180^{\circ} - \frac{(180^{\circ}-a)}2 = 90^{\circ} + \frac a2[/tex3]

logo [tex3]\angle BOG = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3] (suplementar ao [tex3]\angle BOC[/tex3]), portanto [tex3]\angle GBO = \frac a2[/tex3].

Note que [tex3]BGFO[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle BGO = \angle BFO = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]\angle GFB = \angle GOB = 90^{\circ} - \frac{a}2 = \angle AFE [/tex3], logo [tex3]E,F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são alinhados.

Este resultado é conhecido como o lema dos ângulos retos na corda do incírculo.

Pode-se mostrar, ainda, que [tex3]G[/tex3] está na reta suporte da base média relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3]:

Sejam [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] os pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente e seja [tex3]G' = MN \cap CI[/tex3]. Note que [tex3]\angle G'CD = \frac{\angle B}2[/tex3] e, como [tex3]MN \parallel AC[/tex3], [tex3]\angle CMG' = 180^{\circ} - \angle B[/tex3], logo [tex3]\angle CG'M = \frac{\angle B}2[/tex3] e então [tex3]BM = CM = MG'[/tex3], logo [tex3]M[/tex3] é circuncentro do [tex3]\triangle BCG'[/tex3] e então [tex3]\angle BG'C = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]G=G'[/tex3].

Editado pela última vez por FelipeMartin em 09 Mai 2021, 08:16, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Movido de Ensino Fundamental para Demonstrações em 09 Mai 2021, 16:36 por MateusQqMD

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Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por geobson »

Aplicações desse teorema:
viewtopic.php?t=94429

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Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por geobson »

Aplucação desse teorema:

viewtopic.php?t=89055
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Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por geobson »

Aplicação deste teorema :
viewtopic.php?p=261088#p261088
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Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por geobson »

Aplicação deste teorema
viewtopic.php?f=3&t=105801
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Mai 2023 27 16:00

Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por geobson »

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Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

Mensagem por geobson »

Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.
viewtopic.php?f=3&t=106227

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