Olá caros usuários.
Primeiramente, peço-lhes desculpas pelo ocorrido.
Fui fazer a atualização do software do fórum e, como se eu fosse um novato, cometi um erro crasso que derrubou o fórum.
Novato pois não havia feito o backup imediatamente antes.
O único backup disponível era do dia 21 pela manhã.
Ou seja, todas mensagens enviadas durante o dia 21 e dia 22 foram perdidas Incluindo os novos usuários registrados nesses dias.
Estou extremamente chateado com o ocorrido e peço a vocês, novamente, mil desculpas por uma mancada enorme dessas.
Grande abraço,
Prof. Caju
Primeiramente, peço-lhes desculpas pelo ocorrido.
Fui fazer a atualização do software do fórum e, como se eu fosse um novato, cometi um erro crasso que derrubou o fórum.
Novato pois não havia feito o backup imediatamente antes.
O único backup disponível era do dia 21 pela manhã.
Ou seja, todas mensagens enviadas durante o dia 21 e dia 22 foram perdidas Incluindo os novos usuários registrados nesses dias.
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Grande abraço,
Prof. Caju
Demonstrações ⇒ Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
- FelipeMartin
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Mai 2021
08
21:55
Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Dado o [tex3]\triangle ABC[/tex3]; seja [tex3]O[/tex3] o seu incentro, sejam [tex3]D,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] os pontos de contato de seu incírculo com os lados [tex3]BC, AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente, seja [tex3]G[/tex3] o pé da altura de [tex3]B[/tex3] em relação à bissetriz interna do vértice [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3]; então [tex3]G,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são colineares.
Prova:
Sejam [tex3]a := \angle BAC, b := \angle ABC[/tex3] e [tex3]c := \angle ACB[/tex3]. Como o [tex3]\triangle FAE[/tex3] é [tex3]A-[/tex3] isósceles (por Pitot), então [tex3]\angle AFE = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3].
Repare que [tex3]\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{(b+c)}2 = 180^{\circ} - \frac{(180^{\circ}-a)}2 = 90^{\circ} + \frac a2[/tex3]
logo [tex3]\angle BOG = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3] (suplementar ao [tex3]\angle BOC[/tex3]), portanto [tex3]\angle GBO = \frac a2[/tex3].
Note que [tex3]BGFO[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle BGO = \angle BFO = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]\angle GFB = \angle GOB = 90^{\circ} - \frac{a}2 = \angle AFE [/tex3], logo [tex3]E,F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são alinhados.
Este resultado é conhecido como o lema dos ângulos retos na corda do incírculo.
Pode-se mostrar, ainda, que [tex3]G[/tex3] está na reta suporte da base média relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3]:
Sejam [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] os pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente e seja [tex3]G' = MN \cap CI[/tex3]. Note que [tex3]\angle G'CD = \frac{\angle B}2[/tex3] e, como [tex3]MN \parallel AC[/tex3], [tex3]\angle CMG' = 180^{\circ} - \angle B[/tex3], logo [tex3]\angle CG'M = \frac{\angle B}2[/tex3] e então [tex3]BM = CM = MG'[/tex3], logo [tex3]M[/tex3] é circuncentro do [tex3]\triangle BCG'[/tex3] e então [tex3]\angle BG'C = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]G=G'[/tex3].
Prova:
Sejam [tex3]a := \angle BAC, b := \angle ABC[/tex3] e [tex3]c := \angle ACB[/tex3]. Como o [tex3]\triangle FAE[/tex3] é [tex3]A-[/tex3] isósceles (por Pitot), então [tex3]\angle AFE = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3].
Repare que [tex3]\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{(b+c)}2 = 180^{\circ} - \frac{(180^{\circ}-a)}2 = 90^{\circ} + \frac a2[/tex3]
logo [tex3]\angle BOG = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3] (suplementar ao [tex3]\angle BOC[/tex3]), portanto [tex3]\angle GBO = \frac a2[/tex3].
Note que [tex3]BGFO[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle BGO = \angle BFO = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]\angle GFB = \angle GOB = 90^{\circ} - \frac{a}2 = \angle AFE [/tex3], logo [tex3]E,F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são alinhados.
Este resultado é conhecido como o lema dos ângulos retos na corda do incírculo.
Pode-se mostrar, ainda, que [tex3]G[/tex3] está na reta suporte da base média relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3]:
Sejam [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] os pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente e seja [tex3]G' = MN \cap CI[/tex3]. Note que [tex3]\angle G'CD = \frac{\angle B}2[/tex3] e, como [tex3]MN \parallel AC[/tex3], [tex3]\angle CMG' = 180^{\circ} - \angle B[/tex3], logo [tex3]\angle CG'M = \frac{\angle B}2[/tex3] e então [tex3]BM = CM = MG'[/tex3], logo [tex3]M[/tex3] é circuncentro do [tex3]\triangle BCG'[/tex3] e então [tex3]\angle BG'C = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]G=G'[/tex3].
Editado pela última vez por FelipeMartin em 09 Mai 2021, 08:16, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
- geobson
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Abr 2023
16
10:19
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicações desse teorema:
viewtopic.php?t=94429
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- geobson
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- geobson
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Abr 2023
16
10:25
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema :
viewtopic.php?p=261088#p261088
viewtopic.php?p=261088#p261088
- geobson
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Mai 2023
20
10:21
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema
viewtopic.php?f=3&t=105801
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- geobson
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Mai 2023
27
16:00
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema:
viewtopic.php?f=3&t=105915&p=291334#p291334
viewtopic.php?f=3&t=105915&p=291334#p291334
- geobson
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Jun 2023
26
15:44
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.
viewtopic.php?f=3&t=106227
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