Olimpíadas

rean · Mensagem não lida por **rean** » 14 Mar 2010, 10:17

Seja $n$ o menor inteiro positivo cuja raiz cúbica e da forma $n+r$ onde $n$ é um inteiro e $r$ é um número real positivo menor do que $\frac{1}{1000}$ . O valor de $n$ é igual a.

$a)\,\,11\\ b)\,\,13 \\ c)\,\,15 \\ d)\,\,17 \\ e)\,\,19$

Mensagem não lidapor **leozitz** » 15 Mar 2023, 18:10 · Mensagem não lida por **leozitz** » 15 Mar 2023, 18:10

[tex3]\sqrt[3]{n} = m + r[/tex3]
[tex3]m^3 < n = m^3 + 3m^2r+3mr^2 + r^3< m^3 + \frac{3m^2}{1000}+3m\frac{1}{1000^2}+\frac{1}{1000^3}[/tex3]
[tex3]m + 1 > \sqrt[3]{n}[/tex3]
[tex3]0 < n - m^3 < \frac{3m^2}{1000}+3m\frac{1}{1000^2}+\frac{1}{1000^3} [/tex3]

[tex3]n-m^3[/tex3] é inteiro, desta forma eu preciso que [tex3]1<\frac{3m^2}{1000}+3m\frac{1}{1000^2}+\frac{1}{1000^3}[/tex3]
pois não existe inteiro em (0, 1)
desta forma m é pelo menos 19

vamos tentar ver se m = 19 funciona

[tex3]\sqrt[3]{n}=19+r[/tex3] o menor r acontece quando [tex3]n = 19^3 + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{19^3+1}=19 + r[/tex3]
suponha por absurdo que
r > 1/1000
[tex3]\sqrt[3]{19^3+1}=19 + r>19 + \frac{1}{1000}[/tex3]
[tex3]19^3+1 > 19^3 + 3\cdot19^2\frac{1}{1000} + 3\cdot19\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^9}[/tex3]
que é falso

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