Resolva o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x+\left(\frac{3x-y}{x^2+y^2}\right)=3 \\
y-\left(\frac{x+3y}{x^2+y^2}\right)=0
\end{cases}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (KVANT) Fatoração e sistema Tópico resolvido
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Ittalo25
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Jun 2015
08
23:50
(KVANT) Fatoração e sistema
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Razão: tex --> tex3
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Ittalo25
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Jun 2015
08
23:54
Re: (KVANT) Fatoração e sistema
Minha tentativa:
Multiplicando a primeira por x, a segunda por y e somando as duas:
[tex3]\begin{cases}x^2+\left(\frac{3x^2-yx}{x^2+y^2}\right)=3x \\ -y^2+\left(\frac{yx+3y^2}{x^2+y^2}\right)=0\end{cases}[/tex3]
[tex3]x^2-y^2+3 = 3x[/tex3]
[tex3]x^2-3x-y^2+3 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta= 9 - 4.(-y^2+3) = 4y^2 - 3[/tex3]
Seria lindo se esse discriminante fosse apenas [tex3]4y^2[/tex3] , mas fazer o que né
Multiplicando a primeira por x, a segunda por y e somando as duas:
[tex3]\begin{cases}x^2+\left(\frac{3x^2-yx}{x^2+y^2}\right)=3x \\ -y^2+\left(\frac{yx+3y^2}{x^2+y^2}\right)=0\end{cases}[/tex3]
[tex3]x^2-y^2+3 = 3x[/tex3]
[tex3]x^2-3x-y^2+3 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta= 9 - 4.(-y^2+3) = 4y^2 - 3[/tex3]
Seria lindo se esse discriminante fosse apenas [tex3]4y^2[/tex3] , mas fazer o que né
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Jun 2015
09
16:40
Re: (KVANT) Fatoração e sistema
multiplica a primeira por [tex3](x+3y)[/tex3]
e a segunda por [tex3]3x-y[/tex3]
acho que vai dar outra equação quadrática ao somar as duas e ai você vai ter um sistema quadrático, que acho que é resolvivel
[tex3]x(x+3y) + y(3x-y) = 3(x+3y)[/tex3]
[tex3]x^2 + 6xy - y^2 = 3x + 9y[/tex3]
e
[tex3]x^2 - y^2 + 3 = 3x[/tex3]
de onde
[tex3]6xy = 9y + 3[/tex3]
[tex3]2xy = 3y +1[/tex3]
[tex3]x = \frac32 + \frac1{2y}[/tex3]
talvez usar complexos ajude
[tex3]x(x+3y) + y(3x-y) = 3(x+3y)[/tex3]
[tex3]x^2 + 6xy - y^2 = 3x + 9y[/tex3]
e
[tex3]x^2 - y^2 + 3 = 3x[/tex3]
de onde
[tex3]6xy = 9y + 3[/tex3]
[tex3]2xy = 3y +1[/tex3]
[tex3]x = \frac32 + \frac1{2y}[/tex3]
talvez usar complexos ajude
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Jun 2015
10
06:41
Re: (KVANT) Fatoração e sistema
[tex3]x=2 , y =1[/tex3]
pronto, agora dá pra resolver a cúbica
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Razão: tex --> tex3
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Jun 2015
10
22:03
Re: (KVANT) Fatoração e sistema
por complexos:
[tex3]\bar z + \frac{z(3+i)}{z\bar z} = 3[/tex3]
que é uma quadrática em [tex3]\bar z[/tex3] fim
as soluções são x=1, y=-1 e x=2 y= 1
[tex3]\bar z + \frac{z(3+i)}{z\bar z} = 3[/tex3]
que é uma quadrática em [tex3]\bar z[/tex3] fim
as soluções são x=1, y=-1 e x=2 y= 1
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Razão: tex --> tex3
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AlexandreZ
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Fev 2023
03
11:01
Re: (KVANT) Fatoração e sistema
Defina [tex3]Z=x+y\cdot i[/tex3]
Multiplique a 2ª equação por [tex3]i[/tex3] e então some com a primeira.
Temos: [tex3]x+yi+\left(\frac{3x-3yi-xi-y}{x^2+y^2}\right)=3[/tex3]
Em função de [tex3]Z[/tex3] e [tex3]Z'[/tex3] (Conjugado): [tex3]Z+\left(\frac{3Z'-i(x-yi)}{Z\cdot Z'}\right)=3[/tex3]
Assim: [tex3]Z+\frac{3Z'-iZ'}{Z\cdot Z'}=3[/tex3]
Só cortar o [tex3]Z'[/tex3] e resolver a equação de 2º grau em função de [tex3]Z[/tex3] .
Multiplique a 2ª equação por [tex3]i[/tex3] e então some com a primeira.
Temos: [tex3]x+yi+\left(\frac{3x-3yi-xi-y}{x^2+y^2}\right)=3[/tex3]
Em função de [tex3]Z[/tex3] e [tex3]Z'[/tex3] (Conjugado): [tex3]Z+\left(\frac{3Z'-i(x-yi)}{Z\cdot Z'}\right)=3[/tex3]
Assim: [tex3]Z+\frac{3Z'-iZ'}{Z\cdot Z'}=3[/tex3]
Só cortar o [tex3]Z'[/tex3] e resolver a equação de 2º grau em função de [tex3]Z[/tex3] .
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Razão: arrumar tex
Razão: arrumar tex
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