Ensino Médio ⇒ Questão vestibular IFPI 2009 - Matemática questão 14 Tópico resolvido

[NetoFym]

Considere um triângulo marcado no plano
cartesiano e com vértices nos pontos A, B e C.
Sabendo-se que A(1;1) , B(7;5) e que o triângulo é
retângulo em C(3;a) com a>0 , o valor da soma das
coordenadas do ortocentro do triângulo ABC é :

a) 6 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

b) 3 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

c) 6 - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

d) 6 + 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

e) 3 - [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

---

d)

[petras]

NetoFym,
O ortocentro do triângulo retângulo estará em C.
Sendo a = y:

[tex3]\mathsf{AB^2=BC^2+AC^2\implies [(3-1)^2+(y-1)^2]+[(3-7)^2+(y-5)^2 ]= (7-1)^2+((5-1)^2\\
4+y^2-2y+1+16+y^2-10y+25=52 \implies 2y^2-12y-6=0\\
\therefore y^2-6y-3=0 \implies y =\frac{6+4\sqrt3}{2 }=3+2\sqrt3 : \cancel{y' = 3-2\sqrt3 } (a = y > 0 )\\
\therefore 3+3+2\sqrt3 = \boxed{6+2\sqrt3}\color{green}\checkmark }[/tex3]

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[tex3]\mathsf{AB^2=BC^2+AC^2\implies [(3-1)^2+(y-1)^2]+[(3-7)^2+(y-5)^2 ]= (7-1)^2+((5-1)^2\\
4+y^2-2y+1+16+y^2-10y+25=52 \implies 2y^2-12y-6=0\\
\therefore y^2-6y-3=0 \implies y =\frac{6+4\sqrt3}{2 }=3+2\sqrt3 : \cancel{y' = 3-2\sqrt3 } (a = y > 0 )\\
\therefore 3+3+2\sqrt3 = \boxed{6+2\sqrt3}\color{green}\checkmark }[/tex3]