Pré-Vestibular ⇒ (UFMS) Geometria Espacial Tópico resolvido

[Gabrielamed]

Um poliedro regular de [tex3]6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6[/tex3]

arestas de comprimento iguais a [tex3]4\sqrt{6}\ cm[/tex3]

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[tex3]4\sqrt{6}\ cm[/tex3]

e [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

vértices circunscreve uma esfera.
Sendo [tex3]V_P[/tex3]

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[tex3]V_P[/tex3]

e [tex3]V_E[/tex3]

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[tex3]V_E[/tex3]

, respectivamente, os volumes do poliedro e da esfera, então a razão [tex3]V_P/V_E[/tex3]

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[tex3]V_P/V_E[/tex3]

resulta em:

a) [tex3]\frac{2\sqrt{3}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3}}{\pi }[/tex3]

b) [tex3]\frac{4\sqrt{3}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]\frac{4\sqrt{3}}{\pi }[/tex3]

c) [tex3]\frac{6\sqrt{2}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]\frac{6\sqrt{2}}{\pi }[/tex3]

d) [tex3]\frac{8\sqrt{2}}{\pi }[/tex3]

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[tex3]\frac{8\sqrt{2}}{\pi }[/tex3]

Resposta

---

c

Vi essa questão no outro fórum, mas não entendi mt bem. Alguém sabe me explicar?

[petras]

Gabrielamed,

[tex3]\mathsf{
V-A=F+2 \implies 4-6+F = 2 \therefore 4 ~Faces \implies Tetraedro~Regular\\
V_p = \frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{(4\sqrt6)^3\sqrt2}{12}=64\sqrt{3}\\
V_e = \frac{4\pi r^3}{3}\\
r = \frac{a\sqrt6}{12}\implies r = \frac{4\sqrt6\sqrt6}{12}=2\\
\therefore V_e = \frac{4\pi 2^3}{3}=\frac{32\pi}{3}\\
\frac{V_p}{V_e}=\frac{64\sqrt3}{\frac{32\pi}{3}} = \boxed{\frac{6\sqrt3}{\pi}}\color{green}\checkmark


}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{
V-A=F+2 \implies 4-6+F = 2 \therefore 4 ~Faces \implies Tetraedro~Regular\\
V_p = \frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{(4\sqrt6)^3\sqrt2}{12}=64\sqrt{3}\\
V_e = \frac{4\pi r^3}{3}\\
r = \frac{a\sqrt6}{12}\implies r = \frac{4\sqrt6\sqrt6}{12}=2\\
\therefore V_e = \frac{4\pi 2^3}{3}=\frac{32\pi}{3}\\
\frac{V_p}{V_e}=\frac{64\sqrt3}{\frac{32\pi}{3}} = \boxed{\frac{6\sqrt3}{\pi}}\color{green}\checkmark


}[/tex3]

Demonstração..Podemos dividir o tetraedro em 4 tetraedros(t') de de altura igual ao raio da esfera
Como a soma dos volumes dos tetraedros originados é igual ao volume do tetraedro inicial, segue que:
Sendo a a aresta do tetraedro e r o raio da esfera incrita
[tex3]\mathsf{\frac{4}{3}.S.\underbrace{r}_{h_t'}=\frac{1}{3}S.h_t \implies \boxed{h_t = 4r}\\
h_t = \frac{a\sqrt6}{3}\implies 4r = \frac{a\sqrt6}{3}\therefore \boxed{r = \frac{a\sqrt6}{12}}\\
}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\frac{4}{3}.S.\underbrace{r}_{h_t'}=\frac{1}{3}S.h_t \implies \boxed{h_t = 4r}\\
h_t = \frac{a\sqrt6}{3}\implies 4r = \frac{a\sqrt6}{3}\therefore \boxed{r = \frac{a\sqrt6}{12}}\\
}[/tex3]

(Imagem: OBMEP)