Concursos Públicos ⇒ Dimensão do Subespaço Vetorial Tópico resolvido

[bonoone]

Se [tex3]U=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} : a-c+d=0 \, \, \text{e} \, \, b-3d=0 \right\}[/tex3]

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[tex3]U=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} : a-c+d=0 \, \, \text{e} \, \, b-3d=0 \right\}[/tex3]

e [tex3]T=\left\{\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 3 \\
\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 4 \\
\end{pmatrix}\right\}[/tex3]

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[tex3]T=\left\{\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 3 \\
\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 4 \\
\end{pmatrix}\right\}[/tex3]

são subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2, então é correto afirmar que a dimensão da soma [tex3]U+T[/tex3]

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[tex3]U+T[/tex3]

é igual a

(A) 1.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 2.

(E) 3.

Fonte: Q53. QCO CA 2021 - Magistério de Matemática - Exército Brasileiro - VUNESP.

Resposta

---

Gabarito Oficial: (E)

[Matheusrpb]

[tex3]i) \ \ \begin {pmatrix}a & b \\ c & d \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}c-d & 3d \\ c & d \end {pmatrix} = c\begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} + d\begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} [/tex3]

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[tex3]i) \ \ \begin {pmatrix}a & b \\ c & d \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}c-d & 3d \\ c & d \end {pmatrix} = c\begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} + d\begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} [/tex3]

[tex3]U =\left \{\begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} ; \begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \right\}[/tex3]

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[tex3]U =\left \{\begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} ; \begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \right\}[/tex3]

[tex3]ii) \ \ (1)\cdot\begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} + (1)\cdot\begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} + (1)\cdot\begin {pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end {pmatrix} + (-1)\cdot\begin {pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 4 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} [/tex3]

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[tex3]ii) \ \ (1)\cdot\begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} + (1)\cdot\begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} + (1)\cdot\begin {pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end {pmatrix} + (-1)\cdot\begin {pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 4 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} [/tex3]

[tex3]\text{Dessa forma, o conjunto das quatro matrizes é LD. Entretanto, considerando somente três das quatro, é fácil ver que temos um conjunto LI. Assim:}[/tex3]

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[tex3]\text{Dessa forma, o conjunto das quatro matrizes é LD. Entretanto, considerando somente três das quatro, é fácil ver que temos um conjunto LI. Assim:}[/tex3]

[tex3]U + T = \left\{ \begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} ; \begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} ;\begin {pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end {pmatrix} \right\} [/tex3]

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[tex3]U + T = \left\{ \begin {pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} ; \begin {pmatrix}-1 & 3 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} ;\begin {pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end {pmatrix} \right\} [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\dim\(U + T\) = 3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\dim\(U + T\) = 3}}[/tex3]

[bonoone]

Queria saber uma forma de saber se essas matrizes são LI ou LD, sem ser no "olhometro"