a) [tex3]x^2= 4y+1[/tex3]
b) [tex3]y^2= 4x[/tex3]
c) [tex3]y = -x+2[/tex3]
d) [tex3]x^2+(y-2) = 4[/tex3]
e) [tex3](y-1)^2= 4x+1[/tex3]
Resposta
e)
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
IME / ITA ⇒ (IME - 2021/2022) Geometria Analítica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2022
08
20:00
(IME - 2021/2022) Geometria Analítica
Considere o ponto [tex3]A(-4,2)[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
um ponto variável sobre eixo das ordenadas. Traçam-se as retas [tex3]AB[/tex3]
e por [tex3]B[/tex3]
, a perpendicular a [tex3]AB[/tex3]
que intercepta o eixo das abcissas em [tex3]C[/tex3]
. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por [tex3]C[/tex3]
com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por [tex3]B[/tex3]
. A equação desse lugar geométrico é:
a) [tex3]x^2= 4y+1[/tex3]
b) [tex3]y^2= 4x[/tex3]
c) [tex3]y = -x+2[/tex3]
d) [tex3]x^2+(y-2) = 4[/tex3]
e) [tex3](y-1)^2= 4x+1[/tex3]
e)
a) [tex3]x^2= 4y+1[/tex3]
b) [tex3]y^2= 4x[/tex3]
c) [tex3]y = -x+2[/tex3]
d) [tex3]x^2+(y-2) = 4[/tex3]
e) [tex3](y-1)^2= 4x+1[/tex3]
e)
Editado pela última vez por ALDRIN em 09 Abr 2022, 12:37, em um total de 2 vezes.
-
joaopcarv
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Abr 2022
08
22:12
Re: (IME - 2021/2022) Geometria Analítica
Utilizaremos o seguinte anexo:
Sendo [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
um ponto qualquer sobre o eixo das ordenadas, seja [tex3]\mathsf{y}[/tex3]
a sua ordenada.
A reta [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_1 \ = \ \dfrac{2 \ - \ y}{-4 \ - \ 0} \ = \ \dfrac{y \ - \ 2}{4}}[/tex3] . Logo, a reta [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_2 \ = \ \dfrac{-1}{m_1} \ \therefore \ m_2 \ = \ \dfrac{4}{2 \ - \ y}}[/tex3] e coeficiente linear [tex3]\mathsf{y.}[/tex3] .
Essa reta corta o eixo das abcissas em [tex3]\mathsf{C \ = \ (x,0)}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\dfrac{4}{2 \ - \ y} \cdot x \ + \ y \ = \ 0}[/tex3]
O lugar geométrico pedido tem justamente coordenadas [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] , conforme pode-se ver no anexo. Então, trabalhando na equação achada e completando quadrados:
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ y \cdot (2 \ - \ y)\ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 2\cdot y \ - \ y^2 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = (y \ - \ 1)^2}}[/tex3]
- IME.jpg (659.96 KiB) Exibido 1340 vezes
A reta [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_1 \ = \ \dfrac{2 \ - \ y}{-4 \ - \ 0} \ = \ \dfrac{y \ - \ 2}{4}}[/tex3] . Logo, a reta [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_2 \ = \ \dfrac{-1}{m_1} \ \therefore \ m_2 \ = \ \dfrac{4}{2 \ - \ y}}[/tex3] e coeficiente linear [tex3]\mathsf{y.}[/tex3] .
Essa reta corta o eixo das abcissas em [tex3]\mathsf{C \ = \ (x,0)}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\dfrac{4}{2 \ - \ y} \cdot x \ + \ y \ = \ 0}[/tex3]
O lugar geométrico pedido tem justamente coordenadas [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] , conforme pode-se ver no anexo. Então, trabalhando na equação achada e completando quadrados:
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ y \cdot (2 \ - \ y)\ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 2\cdot y \ - \ y^2 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = (y \ - \ 1)^2}}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 08 Abr 2022, 22:14, em um total de 1 vez.
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Abr 2022
08
22:40
Re: (IME - 2021/2022) Geometria Analítica
Ordenada e Abcissa
SHOW. Essa questão foi TOP. Eu diria que a parte mais confusa é entender o enunciado, mas tirando isso, a conta sai até que bem rápida. Vamos começar por um detalhe no final:
Coeficiente Angular e Retas Perpendiculares
A questão cita a aparição de retas perpendiculares. De quebra, a primeira coisa que precisamos calcular é o coeficiente linear da primeira reta. Veja que podemos dizer que [tex3]B(0,y)[/tex3] , vamos escrever o coeficiente linear por esse ponto e por [tex3]A(-4,2)[/tex3] :
[tex3]m_1=\frac{y-2}{0-(-4)}[/tex3]
[tex3]\boxed{m_1=\frac{y-2}4}[/tex3]
Agora, sabemos que uma reta perpendicular a primeira, passa por [tex3]B(0,y)[/tex3] e por [tex3]C(x,0)[/tex3] . Mas note que, primeiro, já temos os valores de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , e podemos encontrar o coeficiente, sendo ele perpendicular a primeira reta, segue a regra:
[tex3]m_1m_2=-1[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\frac{y-2}4\cdot m_2=-1[/tex3]
[tex3]\boxed{m_2=\frac4{2-y}}[/tex3]
Definindo a Equação
Como dito anteriormente, temos os pontos, mas agora também temos o coeficiente, podemos juntar tudo, formando:
[tex3]m_2=\frac{y_B-y_C}{x_B-y_C}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=\frac{y-0}{0-x}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=-\frac yx[/tex3]
[tex3]\frac4{y-2}=\frac yx[/tex3]
[tex3]4x=y(y-2)[/tex3]
[tex3]4x+{\color{PineGreen}1}=y^2-2y+{\color{PineGreen}1}[/tex3]
nota: para completar o quadrado
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(y-1)^2=4x+1}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]
SHOW. Essa questão foi TOP. Eu diria que a parte mais confusa é entender o enunciado, mas tirando isso, a conta sai até que bem rápida. Vamos começar por um detalhe no final:
Se você conseguir entender essa partes, note que, o lugar geométrico é justamente a abcissa de [tex3]C[/tex3] e a ordenada de [tex3]B[/tex3] . Se ficar difícil de visualizar, me da um toque que eu faço umas ilustrações.
Coeficiente Angular e Retas Perpendiculares
A questão cita a aparição de retas perpendiculares. De quebra, a primeira coisa que precisamos calcular é o coeficiente linear da primeira reta. Veja que podemos dizer que [tex3]B(0,y)[/tex3] , vamos escrever o coeficiente linear por esse ponto e por [tex3]A(-4,2)[/tex3] :
[tex3]m_1=\frac{y-2}{0-(-4)}[/tex3]
[tex3]\boxed{m_1=\frac{y-2}4}[/tex3]
Agora, sabemos que uma reta perpendicular a primeira, passa por [tex3]B(0,y)[/tex3] e por [tex3]C(x,0)[/tex3] . Mas note que, primeiro, já temos os valores de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , e podemos encontrar o coeficiente, sendo ele perpendicular a primeira reta, segue a regra:
[tex3]m_1m_2=-1[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\frac{y-2}4\cdot m_2=-1[/tex3]
[tex3]\boxed{m_2=\frac4{2-y}}[/tex3]
Definindo a Equação
Como dito anteriormente, temos os pontos, mas agora também temos o coeficiente, podemos juntar tudo, formando:
[tex3]m_2=\frac{y_B-y_C}{x_B-y_C}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=\frac{y-0}{0-x}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=-\frac yx[/tex3]
[tex3]\frac4{y-2}=\frac yx[/tex3]
[tex3]4x=y(y-2)[/tex3]
[tex3]4x+{\color{PineGreen}1}=y^2-2y+{\color{PineGreen}1}[/tex3]
nota: para completar o quadrado
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(y-1)^2=4x+1}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Abr 2022
09
12:38
Re: (IME) Geometria analítica
Muito obrigado pelas resoluções LostWalker e joaopcarv
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