Em um experimento químico, com 12 minutos de duração, as temperaturas, em grau Celsius, de duas substâncias 1 e 2, são dadas, respectivamente, por T1 = 30 + 10.sen [tex3]\frac{\pi t}{3}[/tex3]
e T2 = 30+10.sen [tex3]\frac{\pi t}{6}[/tex3]
, em que t é o tempo decorrido, em minuto, a partir do início do experimento, correspondente a t = 0 para ambas as substâncias.
a) Qual é a temperatura máxima que a substância 1 atinge? Em que instante (s) essa temperatura ocorre?
b) Em que instante(s), após o início do experimento, as duas substâncias atingem exatamente a mesma temperatura?
Respostas:
a) 40ºC, nos instantes 1,5 min e 7,5 min
b) Nos instantes 2 min, 6 min, 10 min e 12 min.
Ensino Médio ⇒ Função trigonométrica Tópico resolvido
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LostWalker
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Mar 2022
24
18:52
Re: Função trigonométrica
Questão a)
O fator variável das funções está no seno.
[tex3]\begin{cases}T_1=30+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}3\)\\T_2=30+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}6\)\end{cases}[/tex3]
A função seno tem como valor máximo e mínimo [tex3]\sen(\theta)=\pm1[/tex3] . Nesse caso, nas duas funções, o seno está somando, é intuitivo pensar que o valor mais alto é quando [tex3]\sen\(\theta\)=1[/tex3] . É importante ressaltar que teremos que verificar duas coisa, se poderá acontecer mais de uma vez e se quando acontece está dentro do tempo dado. Seguindo então:
[tex3]T_1=30+10\cdot{\color{Blue}\sen\(\frac{\pi t}3\)}[/tex3]
[tex3]T_1=30+10\cdot{\color{Blue}1}[/tex3]
[tex3]T_1=40\,^\circ\!\mbox{C}[/tex3]
Antes de afirmarmos, vamos verificar se o seno consegue atingir o valor de [tex3]1[/tex3] :
[tex3]1=\sen\(\frac{\pi t}3\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac\pi2+2k\pi\)=\sen\(\frac{\pi t}3\)[/tex3]
[tex3]\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}2+2k{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}3[/tex3]
[tex3]\frac3{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}+\frac{12k}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}=\frac{2t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}[/tex3]
[tex3]t=\frac{3+12k}2[/tex3]
Resultados:
[tex3]k=0\Longleftrightarrow t=\frac32=1.5\,\mbox{min}[/tex3]
[tex3]k=1\Longleftrightarrow t=\frac{15}2=7.5\,\mbox{min}[/tex3]
[tex3]k=2\Longleftrightarrow t=\frac{27}2={\color{Red}\cancel{\color{Black}13.5\,\mbox{min}}}[/tex3]
Sendo assim, a função realmente atinge o valor mais alto, [tex3]T_1=40\,^\circ\!\mbox{C}[/tex3] , nos tempo de [tex3]1.5\,\mbox{min}[/tex3] e [tex3]7.5\,\mbox{min}[/tex3]
Questão b)
Bem, igualando as temperaturas, temos:
[tex3]T_1=T_2[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}30}}+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}3\)={\color{Red}\cancel{\color{Black}30}}+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}10}}\cdot\sen\(\frac{\pi t}3\)={\color{Red}\cancel{\color{Black}10}}\cdot\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
Bem, eles já estão começando em tempos diferente, sendo que o valor da direita é mais rápido que o valor da esquerda. Pense que, como é mais rápido, ele irá completar uma volta primeiro, mas ao completar voltas, podemos tirar ou colocar [tex3]2k\pi[/tex3] de dentro do ângulo. O que faremos é o seguinte, se tirar o volta extra, os ângulos serão iguais. É tipo mencionar:
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(390^\circ)[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(390^\circ-360^\circ)[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(30^\circ)[/tex3]
Esse é um exemplo de igualdade, porém, não devemos nos esquecer que, no caso dos senos, temos outros tipos, como:
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(150^\circ)[/tex3]
Para esse caso, a forma mais geral de escrever igualdade de senos é:
[tex3]\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta)[/tex3]
Então temos duas situações para observar:
[tex3]\begin{cases}\sen(\theta)=\sen(\theta+2k\pi)\\\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta+2k\pi)\end{cases}[/tex3]
Então vamos embutir as mudanças no da direita, mas pode escolher o lado que quiser, a primeira mudança dá:
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6+2k\pi\)[/tex3]
[tex3]\frac{\pi t}3=\frac{\pi t}6+2k\pi[/tex3]
[tex3]\frac{2{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}+\frac{12k{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}[/tex3]
[tex3]2t=t+12k[/tex3]
[tex3]\boxed{t=12k}[/tex3]
Nesse caso, dentro do tempo estabelecido, temos: [tex3]k=1\Longleftrightarrow t=12\,\mbox{min}[/tex3]
Agora a segunda mudança:
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\pi-\frac{\pi t}6+2k\pi\)[/tex3]
[tex3]\frac{\pi t}3=\pi-\frac{\pi t}6+2k\pi[/tex3]
[tex3]\frac{2{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}=\frac{6\pi}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}-\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}+\frac{12k{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}[/tex3]
[tex3]2t=6\pi-t+12k[/tex3]
[tex3]3t=6\pi+12k[/tex3]
[tex3]\boxed{t=2\pi+4k}[/tex3]
Nesse caso, temos valores possíveis para:
[tex3]k=0\Longleftrightarrow t=2\,\mbox{min}\\k=1\Longleftrightarrow t=6\,\mbox{min}\\k=2\Longleftrightarrow t=10\,\mbox{min}[/tex3]
Juntando tudo, as temperaturas são iguais em:
[tex3]t=2\,\mbox{min},\,t=6\,\mbox{min},\,t=10\,\mbox{min},\,t=12\,\mbox{min}[/tex3]
nota: o gabarito não contou, mas eu diria que ele deveria considera quando [tex3]t=0[/tex3], temperaturas também são iguais.
Formas Generalizadas de Senos
Eu dividi em dois casos, mas acontece que tem uma forma mais generalizada de escrever (que no final vira também dois casos, mas a conta é mais direta). Não coloquei na resposta por achar que seria muito massiva, enfim, a forma genérica de escrever um ângulo nos senos é:
[tex3]\sen(\theta)=\sen\[\frac\pi2\pm\(\frac\pi2-\theta\)+2k\pi\][/tex3]
Se você usar o menos, chega na primeira equação [tex3]\boxed{\sen(\theta)=\sen(\theta+2k\pi)}[/tex3] , se usar o mais, [tex3]\boxed{\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta+2k\pi)}[/tex3] . Mas tipo, mano, zero necessidade de decorar isso
, vou deixar aqui apenas pela curiosidade.
O fator variável das funções está no seno.
[tex3]\begin{cases}T_1=30+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}3\)\\T_2=30+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}6\)\end{cases}[/tex3]
A função seno tem como valor máximo e mínimo [tex3]\sen(\theta)=\pm1[/tex3] . Nesse caso, nas duas funções, o seno está somando, é intuitivo pensar que o valor mais alto é quando [tex3]\sen\(\theta\)=1[/tex3] . É importante ressaltar que teremos que verificar duas coisa, se poderá acontecer mais de uma vez e se quando acontece está dentro do tempo dado. Seguindo então:
[tex3]T_1=30+10\cdot{\color{Blue}\sen\(\frac{\pi t}3\)}[/tex3]
[tex3]T_1=30+10\cdot{\color{Blue}1}[/tex3]
[tex3]T_1=40\,^\circ\!\mbox{C}[/tex3]
Antes de afirmarmos, vamos verificar se o seno consegue atingir o valor de [tex3]1[/tex3] :
[tex3]1=\sen\(\frac{\pi t}3\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac\pi2+2k\pi\)=\sen\(\frac{\pi t}3\)[/tex3]
[tex3]\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}2+2k{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}3[/tex3]
[tex3]\frac3{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}+\frac{12k}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}=\frac{2t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}[/tex3]
[tex3]t=\frac{3+12k}2[/tex3]
Resultados:
[tex3]k=0\Longleftrightarrow t=\frac32=1.5\,\mbox{min}[/tex3]
[tex3]k=1\Longleftrightarrow t=\frac{15}2=7.5\,\mbox{min}[/tex3]
[tex3]k=2\Longleftrightarrow t=\frac{27}2={\color{Red}\cancel{\color{Black}13.5\,\mbox{min}}}[/tex3]
Sendo assim, a função realmente atinge o valor mais alto, [tex3]T_1=40\,^\circ\!\mbox{C}[/tex3] , nos tempo de [tex3]1.5\,\mbox{min}[/tex3] e [tex3]7.5\,\mbox{min}[/tex3]
Questão b)
Bem, igualando as temperaturas, temos:
[tex3]T_1=T_2[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}30}}+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}3\)={\color{Red}\cancel{\color{Black}30}}+10\cdot\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}10}}\cdot\sen\(\frac{\pi t}3\)={\color{Red}\cancel{\color{Black}10}}\cdot\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
Bem, eles já estão começando em tempos diferente, sendo que o valor da direita é mais rápido que o valor da esquerda. Pense que, como é mais rápido, ele irá completar uma volta primeiro, mas ao completar voltas, podemos tirar ou colocar [tex3]2k\pi[/tex3] de dentro do ângulo. O que faremos é o seguinte, se tirar o volta extra, os ângulos serão iguais. É tipo mencionar:
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(390^\circ)[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(390^\circ-360^\circ)[/tex3]
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(30^\circ)[/tex3]
Esse é um exemplo de igualdade, porém, não devemos nos esquecer que, no caso dos senos, temos outros tipos, como:
[tex3]\sen(30^\circ)=\sen(150^\circ)[/tex3]
Para esse caso, a forma mais geral de escrever igualdade de senos é:
[tex3]\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta)[/tex3]
Então temos duas situações para observar:
[tex3]\begin{cases}\sen(\theta)=\sen(\theta+2k\pi)\\\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta+2k\pi)\end{cases}[/tex3]
Então vamos embutir as mudanças no da direita, mas pode escolher o lado que quiser, a primeira mudança dá:
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6+2k\pi\)[/tex3]
[tex3]\frac{\pi t}3=\frac{\pi t}6+2k\pi[/tex3]
[tex3]\frac{2{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}+\frac{12k{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}[/tex3]
[tex3]2t=t+12k[/tex3]
[tex3]\boxed{t=12k}[/tex3]
Nesse caso, dentro do tempo estabelecido, temos: [tex3]k=1\Longleftrightarrow t=12\,\mbox{min}[/tex3]
Agora a segunda mudança:
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\frac{\pi t}6\)[/tex3]
[tex3]\sen\(\frac{\pi t}3\)=\sen\(\pi-\frac{\pi t}6+2k\pi\)[/tex3]
[tex3]\frac{\pi t}3=\pi-\frac{\pi t}6+2k\pi[/tex3]
[tex3]\frac{2{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}=\frac{6\pi}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}-\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}} t}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}+\frac{12k{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}6}}[/tex3]
[tex3]2t=6\pi-t+12k[/tex3]
[tex3]3t=6\pi+12k[/tex3]
[tex3]\boxed{t=2\pi+4k}[/tex3]
Nesse caso, temos valores possíveis para:
[tex3]k=0\Longleftrightarrow t=2\,\mbox{min}\\k=1\Longleftrightarrow t=6\,\mbox{min}\\k=2\Longleftrightarrow t=10\,\mbox{min}[/tex3]
Juntando tudo, as temperaturas são iguais em:
[tex3]t=2\,\mbox{min},\,t=6\,\mbox{min},\,t=10\,\mbox{min},\,t=12\,\mbox{min}[/tex3]
nota: o gabarito não contou, mas eu diria que ele deveria considera quando [tex3]t=0[/tex3], temperaturas também são iguais.
Formas Generalizadas de Senos
Eu dividi em dois casos, mas acontece que tem uma forma mais generalizada de escrever (que no final vira também dois casos, mas a conta é mais direta). Não coloquei na resposta por achar que seria muito massiva, enfim, a forma genérica de escrever um ângulo nos senos é:
[tex3]\sen(\theta)=\sen\[\frac\pi2\pm\(\frac\pi2-\theta\)+2k\pi\][/tex3]
Se você usar o menos, chega na primeira equação [tex3]\boxed{\sen(\theta)=\sen(\theta+2k\pi)}[/tex3] , se usar o mais, [tex3]\boxed{\sen(\theta)=\sen(\pi-\theta+2k\pi)}[/tex3] . Mas tipo, mano, zero necessidade de decorar isso
, vou deixar aqui apenas pela curiosidade.
Editado pela última vez por LostWalker em 24 Mar 2022, 18:58, em um total de 2 vezes.
Razão: correção de tex
Razão: correção de tex
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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petras
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Mar 2022
25
00:09
Re: Função trigonométrica
LostWalker,
Uma pequena correção:
[tex3]2t=6\pi-t+12k[/tex3] seria [tex3]2t=6-t+12k\implies \boxed{t = 2+4k}[/tex3]
O comando da questão pede as temperaturas iguais APÓS o início do experimento enttão t=0 estaria descartado,
Uma pequena correção:
[tex3]2t=6\pi-t+12k[/tex3] seria [tex3]2t=6-t+12k\implies \boxed{t = 2+4k}[/tex3]
O comando da questão pede as temperaturas iguais APÓS o início do experimento enttão t=0 estaria descartado,
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