Questões Perdidas ⇒ Parametrização(Diomara)

[Toplel94]

Uma haste, presa na origem do plano [tex3]xy[/tex3], ocupa a posição [tex3]x=ty[/tex3]. A haste intercepta [tex3]y=4[/tex3] no ponto S e a elipse [tex3]4x^2 +(y-2)^2=4[/tex3] no ponto Q. Quando [tex3]t[/tex3] varia, o vértice P do triângulo [tex3]QPS[/tex3] descreve uma curva.

A questão é divida em 3 subtópicos:

(a) Escreva equações paramétricas dessa curva, em função do parâmetro [tex3]t[/tex3].

Temos que:
(1)[tex3]x=ty[/tex3] , (2) [tex3]4x^2 + (y-2)^2=4[/tex3] e (3)[tex3]y=\dfrac{x}{t}[/tex3].

Aplicando (1) em (2):

[tex3]4(ty)^2 + (y-2)^2=4 \Rightarrow 4t^2y^2+y^2-4y+4=4 \Rightarrow y^2(4t^2 +1)- 4y=0[/tex3], porém temos (3):

[tex3]\dfrac{x^2}{t^2}(4t^2+1)-\dfrac{4x}{t}=0 \Rightarrow \dfrac{x}{t}(4^2+1)-4=0 \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{4t}{4t^2+1}}[/tex3], como sabemos da relação [tex3]x=yt \Rightarrow \boxed {y=\dfrac{4}{4t^2+1}}[/tex3].

Porém no gabarito está: [tex3]x=4t[/tex3] e [tex3]y=\dfrac{4}{4t^2+4}[/tex3], já substitui nas equações da elipse e não bate alguma igualdade, assim como da reta [tex3]x=ty[/tex3] (ao contrário da minha resolução).

(b) Esboçar o gráfico da curva:

lol.jpg (40.98 KiB) Exibido 4238 vezes

(c) Escrever a equação cartesiana da curva:

Como eu posso sumir o parâmetro [tex3]t[/tex3]?
[tex3]y=\dfrac{4}{4t^2+1}[/tex3]
[tex3]x=\dfrac{4t}{4t^2+1}[/tex3]

[Rengaw]

Como x=ty, e y=4, início do movimento, x=4t. Atribuir t=0, à equação y=x/t, tona y impossível, teríamos que estabelecer t diferente de zero, contrariando a possibilidade de t=0, assim x=4t e não x=4t/4t^2+1.