Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:16 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
16 - No triângulo ABC, donde [tex3] \angle [/tex3]A= 2[tex3]\angle C;[/tex3] se traça a bissetriz
interior AM de modo que BM = 4 e MC = 5. Seja I o incentro de ABC
e a bissetriz BI em P. Calcular PI.

Resposta

---

Não há alternativa correta (Resposta errada do livro: E) [tex3]\sqrt{3}[/tex3])

[petras]

[tex3]\mathsf{\triangle ABC \sim \triangle MBA\implies \frac{AB}{4}=\frac{9}{AB}\therefore AB = 6\\
\frac{AC}{5}=\frac{AB}{4} \implies AC =\frac{15}{2}\\
T.Bissetriz - \triangle ABC:\frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\\
AP+PC = \frac{15}{2} \implies \frac{2PC}{3}+PC = \frac{15}{2}\therefore PC = \frac{9}{2}, AP =3\\
T.Bissetriz- \triangle ABP: \frac{AP}{AB}=\frac{PI}{BI}=\frac{3}{6}\implies BI=2PI\\
BP = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)} = \frac{2}{9+6}\sqrt{9.6.\frac{45}{4}.(\frac{45}{4}-\frac{15}{2})}=\frac{9\sqrt2}{2} \\ \therefore \boxed{\color{red}PI =\frac{3\sqrt2}{2}\approx 2,12}

}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\triangle ABC \sim \triangle MBA\implies \frac{AB}{4}=\frac{9}{AB}\therefore AB = 6\\
\frac{AC}{5}=\frac{AB}{4} \implies AC =\frac{15}{2}\\
T.Bissetriz - \triangle ABC:\frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\\
AP+PC = \frac{15}{2} \implies \frac{2PC}{3}+PC = \frac{15}{2}\therefore PC = \frac{9}{2}, AP =3\\
T.Bissetriz- \triangle ABP: \frac{AP}{AB}=\frac{PI}{BI}=\frac{3}{6}\implies BI=2PI\\
BP = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)} = \frac{2}{9+6}\sqrt{9.6.\frac{45}{4}.(\frac{45}{4}-\frac{15}{2})}=\frac{9\sqrt2}{2} \\ \therefore \boxed{\color{red}PI =\frac{3\sqrt2}{2}\approx 2,12}

}[/tex3]