Ensino Superior ⇒ Media Aritmética e variância Tópico resolvido

[Felipe22]

Fiscal de Transportes-RJ
Em uma série com 100 observações, o somatório dos quadrados das observações é igual a 3000 e a média aritmética igual a 4. A variância, nesse caso, é igual a:
a) 11
b) 12,7
c) 13
d) 13,5
e) 14

Gab: E

[deOliveira]

[tex3]\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}n\\
=\frac1n\[\sum_{i=1}^n(X_{i}^{2}-2X_i\bar X+\bar X^2)\]\\
=\frac1n\[\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar X\sum_{i=1}^nX_i+n\bar X^2\][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}n\\
=\frac1n\[\sum_{i=1}^n(X_{i}^{2}-2X_i\bar X+\bar X^2)\]\\
=\frac1n\[\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar X\sum_{i=1}^nX_i+n\bar X^2\][/tex3]

Como [tex3]\bar X=\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i[/tex3]

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[tex3]\bar X=\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i[/tex3]

temos que [tex3]\sum_{i=1}^nX_i=\bar Xn[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^nX_i=\bar Xn[/tex3]

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Logo, [tex3]\sigma^2=\frac1n\[\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar X^2n+n\bar X^2\]=\frac1n\[\sum_{i=1}^nX_i^2-n\bar X^2\]=\frac{\sum_{i=1}^nX_i^2}n-\bar X^2[/tex3]

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[tex3]\sigma^2=\frac1n\[\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar X^2n+n\bar X^2\]=\frac1n\[\sum_{i=1}^nX_i^2-n\bar X^2\]=\frac{\sum_{i=1}^nX_i^2}n-\bar X^2[/tex3]

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No caso, temos [tex3]n=100[/tex3]

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[tex3]n=100[/tex3]

, [tex3]\sum_{i=1}^{100}X_i^2=3000[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^{100}X_i^2=3000[/tex3]

e [tex3]\bar X=4[/tex3]

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[tex3]\bar X=4[/tex3]

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[tex3]\implies \sigma^2=\frac{3000}{100}-4^2=30-16=14[/tex3]

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[tex3]\implies \sigma^2=\frac{3000}{100}-4^2=30-16=14[/tex3]

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Espero ter ajudado.