Ensino Superior ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido

[kustelinha]

De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores, escolhidos entre os 22, dos quais 3 são goleiros e só o goleiro tem posição fixa?

[ttbr96]

número de goleiros (posição fixa): 3
número de jogadores de linha: 22 - 3 = 19

para escolhermos o goleiro temos 3 possibilidades
para escolhermos os jogadores temos [tex3]C_{19}^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{19}^{10}[/tex3]

possibilidades

logo, teremos [tex3]3 \cdot C_{19}^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \cdot C_{19}^{10}[/tex3]

maneiras de o técnico escolher os seus 11 jogadores.

[kustelinha]

número de goleiros (posição fixa): 3
número de jogadores de linha: 22 - 3 = 19

para escolhermos o goleiro temos 3 possibilidades
para escolhermos os jogadores temos [tex3]C_{19}^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{19}^{10}[/tex3]

possibilidades

logo, teremos [tex3]3 \cdot C_{19}^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \cdot C_{19}^{10}[/tex3]

maneiras de o técnico escolher os seus 11 jogadores.

cara no gabarito a resposta ta = 100566385920

[ttbr96]

para chegar a esse gabarito foi usado o PFC:
3 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 = 1.005.663.859.200

agora, fiquei com dúvida... Porque PFC!!!

[Augustus]

O que o exercício quer dizer com "quadro"? É um exercício de sequência/permutação?

[Planck]

O que o exercício quer dizer com "quadro"? É um exercício de sequência/permutação?

Acredito que quadro, no contexto do exercício, significa equipe, ou seja, formar uma equipe com 11 jogadores. Sobre a resolução, consegui resolver por permutação:

[tex3]\underbrace{{\color{Orange} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {3}^{{⠀}^{⠀}} }}}_{\text{goleiro}} \cdot \underbrace{{\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {19}^{{⠀}^{⠀}} }} \cdot {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {18}^{{⠀}^{⠀}} }} \cdot {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {17}^{{⠀}^{⠀}} }} \dots {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {10}^{{⠀}^{⠀}} }}}_{\text{jogadores}} \, \, \implies \, \, 1005663859200[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{{\color{Orange} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {3}^{{⠀}^{⠀}} }}}_{\text{goleiro}} \cdot \underbrace{{\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {19}^{{⠀}^{⠀}} }} \cdot {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {18}^{{⠀}^{⠀}} }} \cdot {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {17}^{{⠀}^{⠀}} }} \dots {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {10}^{{⠀}^{⠀}} }}}_{\text{jogadores}} \, \, \implies \, \, 1005663859200[/tex3]

[Fibonacci13]

Em uma prova discursiva seria permitido deixar a resposta assim: [tex3]3.C10,19[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.C10,19[/tex3]

?

[MateusQqMD]

Fibonacci13, não sei se ainda é do seu interesse essa resposta, mas..

Podemos!! Desde que vc deixa um resultado equivalente

Note que [tex3]3 \cdot C_{19}^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \cdot C_{19}^{10}[/tex3]

corresponde ao número de modos que podemos escolher um goleiro e dez jogadores, mas veja bem: escolher. Como os jogadores não possuem posição fixa (com excessão do goleiro), a gente precisa considerar a forma como podemos organizá-los em campo, isto é, permutá-los entre as posições!! Isso pode ser feito de [tex3]10![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10![/tex3]

modos.

Então, a resposta ficaria [tex3]3 \cdot C_{19}^{10} \cdot 10![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \cdot C_{19}^{10} \cdot 10![/tex3]

Não há problema em não “abrir” as contas.

[Fibonacci13]

Opa, muito obrigado MateusQqMD.