Encontre o valor médio de f(x, y) = sen (x + y) sobre:
a) O retângulo 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π.
b) O retângulo 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π/2.
Ensino Superior ⇒ Área por integração dupla Tópico resolvido
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AlexandreHDK
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Dez 2021
01
22:46
Re: Área por integração dupla
a) [tex3]\frac{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}sen(x+y)dydx}{\pi^2}[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+y)|_{y=0}^{y=\pi}dx[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+\pi) + cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi 2cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2} sen(x)|_{x=0}^{x=\pi}=0[/tex3]
b) [tex3]\frac{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}sen(x+y)dydx}{\pi^2/2}[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+y)|_{y=0}^{y=\pi/2}dx[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+\pi/2) + cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\pi sen(x)+cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2} [-cos(x)+sen(x)]|_{x=0}^{x=\pi}[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2}[-(-1)+0+1-0]=\frac{4}{\pi^2}[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+y)|_{y=0}^{y=\pi}dx[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+\pi) + cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi 2cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2} sen(x)|_{x=0}^{x=\pi}=0[/tex3]
b) [tex3]\frac{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}sen(x+y)dydx}{\pi^2/2}[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+y)|_{y=0}^{y=\pi/2}dx[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi-cos(x+\pi/2) + cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2}\int_0^\pi sen(x)+cos(x)dx[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2} [-cos(x)+sen(x)]|_{x=0}^{x=\pi}[/tex3]
[tex3]=\frac{2}{\pi^2}[-(-1)+0+1-0]=\frac{4}{\pi^2}[/tex3]
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