Ensino Superior ⇒ Cálculo 2 EDO, soluções constantes Tópico resolvido

[neonexe]

O número de soluções constantes da equação diferencial

y' = x cos y

é:
a) infinito
b) 0
c) Nenhuma das demais alternativas~
d) 1
e) 2

Resposta

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letra a

[AnthonyC]

Para encontrar as soluções constantes de um EDO, supomos que a função [tex3]y=c,~~~c\in\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=c,~~~c\in\mathbb{R}[/tex3]

é solução da EDO. Substituindo este resultado, temos:
[tex3]y'=x\cos(y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'=x\cos(y)[/tex3]

[tex3](c)'=x\cos(c)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](c)'=x\cos(c)[/tex3]

[tex3]0=x\cos(c)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0=x\cos(c)[/tex3]

[tex3]x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=0[/tex3]

ou [tex3]\cos(c)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(c)=0[/tex3]

Queremos uma solução que seja constante para todos os valores de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

. Assim, devemos ter:
[tex3]\cos(c)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(c)=0[/tex3]

Mas sabemos que a equação acima possuí infinitas raízes, todas da forma [tex3]c={\pi\over 2}+k\pi,~~~k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c={\pi\over 2}+k\pi,~~~k\in\mathbb{Z}[/tex3]

. Logo, há infinitas soluções constantes para a EDO.