Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:01 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
1 - No quadrilátero ABCD :
[tex3]\angle[/tex3] B = [tex3]\angle[/tex3]D = 90^o, AC = 10 e BD = 8
Calcular a medida do segmento que une os pontos médios das diagonais.

Resposta

---

(A) 3

[petras]

[tex3]\mathsf{T.Euler: AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 = 4MN^2+AC^2+BD^2\implies\\
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 = 4MN+164(I)\\
\triangle BAC: AC^2 = AB^2+BC^2 \implies AB^2+BC^2 =100\\
\triangle DAC: AC^2 = AD^2+CD^2\implies 100 = AD^2+CD^2\\
\therefore AD^2+CD^2 = AB^2+BC^2=100\\
Em(I): 200 = 4MN^2+164 \implies MN^2 = 9\\
\therefore \boxed{\color{red}MN = 3}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T.Euler: AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 = 4MN^2+AC^2+BD^2\implies\\
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 = 4MN+164(I)\\
\triangle BAC: AC^2 = AB^2+BC^2 \implies AB^2+BC^2 =100\\
\triangle DAC: AC^2 = AD^2+CD^2\implies 100 = AD^2+CD^2\\
\therefore AD^2+CD^2 = AB^2+BC^2=100\\
Em(I): 200 = 4MN^2+164 \implies MN^2 = 9\\
\therefore \boxed{\color{red}MN = 3}}[/tex3]