Boa noite, estou com grande dificuldade nessa questão. Alguém poderia me ajudar?
Calcule Fc(x, y).dr onde C é qualquer caminho de (0, 1) a (1, 2), e F(x, y) =[tex3](1 − ye^{−x}) i^→ + e^{−x} j^→[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo II
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
14
01:23
Re: Cálculo II
Isso que você quer é a integral em C?
Se for, vamos verificar se o campo [tex3]\vec{F}(x,y)[/tex3] é um campo conservativo encontrando sua função potencial:
Seja [tex3]f(x,y)[/tex3] tal que [tex3]{\partial f\over \partial x}=1-ye^{-x}[/tex3] e [tex3]{\partial f \over \partial y}=e^{-x}[/tex3] . Temos:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=1-ye^{-x}[/tex3]
[tex3]\int{\partial f\over \partial x}dx=\int(1-ye^{-x})dx[/tex3]
[tex3]f(x,y)=x+ye^{-x}+g(y)[/tex3]
[tex3]{\partial f\over \partial y}=e^{-x}+g'(y)[/tex3]
[tex3]e^{-x}=e^{-x}+g'(y)[/tex3]
[tex3]0=g'(y)[/tex3]
[tex3]\int0dy=\int g'(y)dy[/tex3]
[tex3]C=g(y)[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]f(x,y)=x+ye^{-x}+C[/tex3]
Como conseguimos encontrar uma função potencial, então o campo é conservativo. Assim, podemos utilizar o seguinte resultado:
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(x_f,y_f)-f(x_0,y_0)[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(1,2)-f(0,1)[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=1+2e^{-1}+C-\[0+1\cdot e^{-0}+C\][/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=2e^{-1}[/tex3]
Se for, vamos verificar se o campo [tex3]\vec{F}(x,y)[/tex3] é um campo conservativo encontrando sua função potencial:
Seja [tex3]f(x,y)[/tex3] tal que [tex3]{\partial f\over \partial x}=1-ye^{-x}[/tex3] e [tex3]{\partial f \over \partial y}=e^{-x}[/tex3] . Temos:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=1-ye^{-x}[/tex3]
[tex3]\int{\partial f\over \partial x}dx=\int(1-ye^{-x})dx[/tex3]
[tex3]f(x,y)=x+ye^{-x}+g(y)[/tex3]
[tex3]{\partial f\over \partial y}=e^{-x}+g'(y)[/tex3]
[tex3]e^{-x}=e^{-x}+g'(y)[/tex3]
[tex3]0=g'(y)[/tex3]
[tex3]\int0dy=\int g'(y)dy[/tex3]
[tex3]C=g(y)[/tex3]
Assim, temos:
[tex3]f(x,y)=x+ye^{-x}+C[/tex3]
Como conseguimos encontrar uma função potencial, então o campo é conservativo. Assim, podemos utilizar o seguinte resultado:
Sabemos que [tex3]\vec{F}[/tex3] é conservativo, logo:Se [tex3]\vec{F}(x,y)[/tex3] é um campo conservativo em uma região [tex3]R[/tex3] do espaço e [tex3]C[/tex3] é uma curva contínua em partes em [tex3]R[/tex3] com início em [tex3](x_0,y_0)[/tex3] e final em [tex3](x_f,y_f)[/tex3] , então [tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(x_f,y_f)-f(x_0,y_0)[/tex3] , onde [tex3]f(x,y)[/tex3] é a função potencial de [tex3]\vec{F}[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(x_f,y_f)-f(x_0,y_0)[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(1,2)-f(0,1)[/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=1+2e^{-1}+C-\[0+1\cdot e^{-0}+C\][/tex3]
[tex3]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=2e^{-1}[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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