Softwares Livres ⇒ Construção de círculos tangentes Tópico resolvido
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Ago 2020
05
16:48
Re: Construção de círculos tangentes
trace uma tangente comum (que não passe por [tex3]T[/tex3]
Portanto K está na linha da reta tangente entre os dois círculos por [tex3]T[/tex3] . Com um pouco de manipulação de ângulos (olhar para a reta AK que é uma bissetriz), percebemos que forma-se um ângulo de segmento em [tex3]K[/tex3] de forma que [tex3]K[/tex3] é ponto de tangência do círculo por [tex3]ABM[/tex3] .
O que indica que os três círculos desenhados (excluindo o [tex3](MNL)[/tex3]) possuem um centro externo de homotetia em comum a partir do qual pode-se traçar as duas retas tangentes aos três círculos.
É dai que surgem as poucas simetrias que eu encontrei desse problema.
Sejam [tex3]c_1= (ABM), c_2 = \odot (A,AT), c_3 = \odot (B,BT)[/tex3]
Por exemplo: o teorema de Monge diz que a reta [tex3]NL[/tex3] passa pelo centro de homotetia [tex3]X[/tex3] entre [tex3]c_2[/tex3] e [tex3]c_3[/tex3] , [tex3]X = NL \cap AB[/tex3] .
Pelo provado em negrito [tex3]X[/tex3] também é centro de homotetia entre [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] .
Seja [tex3]Z[/tex3] o segundo centro de homotetia entre o círculo menor e [tex3]c_1[/tex3] então o teorema de monge diz que [tex3]Z,N,X[/tex3] são alinhados, logo [tex3]Z \in NL[/tex3] .
Além disso, [tex3]Z[/tex3] está na reta unindo os centros do círculo menor com o o centro [tex3]c_1[/tex3] (essa reta passa por [tex3]M[/tex3] também).
Agora só falta ver porque [tex3]Z[/tex3] está na perpendicular a [tex3]AB[/tex3] por [tex3]T[/tex3] .
) dos círculos: [tex3]\odot (A,AT)[/tex3]
e [tex3]\odot (B,BT)[/tex3]
e seja [tex3]K[/tex3]
o ponto médio dos pontos de contato dessas tangentes. Sabemos que a distância entre esses pontos de contato é [tex3]2\sqrt{Rr}[/tex3]
então a distância de um deles até o ponto médio é [tex3]\sqrt{Rr}[/tex3]
. Além disso vou tomar como conhecido que [tex3]K[/tex3]
é circuncentro do triângulo retângulo formado pelos pontos de contato e por [tex3]T[/tex3]
logo [tex3]KT = \sqrt{Rr}[/tex3]
, porém este é o mesmo valor da altura do triângulo retângulo de vértices: A,B e o encontro da altura de T com o círculo (relações métricas).Portanto K está na linha da reta tangente entre os dois círculos por [tex3]T[/tex3] . Com um pouco de manipulação de ângulos (olhar para a reta AK que é uma bissetriz), percebemos que forma-se um ângulo de segmento em [tex3]K[/tex3] de forma que [tex3]K[/tex3] é ponto de tangência do círculo por [tex3]ABM[/tex3] .
O que indica que os três círculos desenhados (excluindo o [tex3](MNL)[/tex3]) possuem um centro externo de homotetia em comum a partir do qual pode-se traçar as duas retas tangentes aos três círculos.
É dai que surgem as poucas simetrias que eu encontrei desse problema.
Sejam [tex3]c_1= (ABM), c_2 = \odot (A,AT), c_3 = \odot (B,BT)[/tex3]
Por exemplo: o teorema de Monge diz que a reta [tex3]NL[/tex3] passa pelo centro de homotetia [tex3]X[/tex3] entre [tex3]c_2[/tex3] e [tex3]c_3[/tex3] , [tex3]X = NL \cap AB[/tex3] .
Pelo provado em negrito [tex3]X[/tex3] também é centro de homotetia entre [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] .
Seja [tex3]Z[/tex3] o segundo centro de homotetia entre o círculo menor e [tex3]c_1[/tex3] então o teorema de monge diz que [tex3]Z,N,X[/tex3] são alinhados, logo [tex3]Z \in NL[/tex3] .
Além disso, [tex3]Z[/tex3] está na reta unindo os centros do círculo menor com o o centro [tex3]c_1[/tex3] (essa reta passa por [tex3]M[/tex3] também).
Agora só falta ver porque [tex3]Z[/tex3] está na perpendicular a [tex3]AB[/tex3] por [tex3]T[/tex3] .
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Jun 2021
25
03:52
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, EUREKA!
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.
Última edição: FelipeMartin (Sex 25 Jun, 2021 18:33). Total de 1 vez.
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Jun 2021
25
12:07
Re: Construção de círculos tangentes
FelipeMartin escreveu: ↑Sex 25 Jun, 2021 03:52Babi123, EUREKA!
106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.
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Jun 2021
25
12:31
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, quase fez aniversário essa aqui.
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25
18:34
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, eu não estou entendendo mais nada, parece que funciona como eu fiz ali. Mas eu não tenho a MENOR ideia do porquê hahahahahaha
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Jun 2021
26
19:14
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, só parece mesmo, apesar da construção descrita na outra resposta ser visualmente uma solução (até escapou do algoritmo do geogebra). Ela é uma ilusão. Acho que esse problema vai fazer um aninho em breve.
https://math.stackexchange.com/question ... 02#4183902
https://math.stackexchange.com/question ... 02#4183902
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Jun 2021
26
23:27
Re: Construção de círculos tangentes
FelipeMartin escreveu: ↑Sex 25 Jun, 2021 03:52Babi123, EUREKA!
106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
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Já ficou lindo
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Jun 2021
27
01:00
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, mas está errado o método de apolônio é mais longo, mas funcionaria.
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Ago 2021
08
01:58
Re: Construção de círculos tangentes
download/file.php?id=51904
o centro do círculo desejado é o ponto [tex3]X = \odot (A,AT + ET) \cap \odot (B,BT + ET)[/tex3] acima da reta [tex3]AB[/tex3] (esses círculos são fáceis de traçar ao se desenhar o ponto [tex3]E'[/tex3] : reflexo de [tex3]E[/tex3] em relação a [tex3]T[/tex3] ).
então com [tex3]Y = c_1 \cap \overline{AX}[/tex3] , você tem [tex3]\omega= \odot(X,XY)[/tex3]
essa construção funciona, pois o círculo desejado é arquemediano https://en.wikipedia.org/wiki/Schoch_line
Seja [tex3]D[/tex3] o pé da altura de [tex3]C[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] e seja [tex3]E[/tex3] o ponto médio de [tex3]TD[/tex3] .FelipeMartin escreveu: ↑Sex 25 Jun, 2021 03:52
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3]
o centro do círculo desejado é o ponto [tex3]X = \odot (A,AT + ET) \cap \odot (B,BT + ET)[/tex3] acima da reta [tex3]AB[/tex3] (esses círculos são fáceis de traçar ao se desenhar o ponto [tex3]E'[/tex3] : reflexo de [tex3]E[/tex3] em relação a [tex3]T[/tex3] ).
então com [tex3]Y = c_1 \cap \overline{AX}[/tex3] , você tem [tex3]\omega= \odot(X,XY)[/tex3]
essa construção funciona, pois o círculo desejado é arquemediano https://en.wikipedia.org/wiki/Schoch_line
Última edição: FelipeMartin (Dom 08 Ago, 2021 02:08). Total de 2 vezes.
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