Pré-Vestibular ⇒ UERJ - Funções e geometria analítca

[florestinha89]

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No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se descola no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q.
Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir.

Gabarito:

Resposta

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1/4

Encontrei inúmeras resoluções dessa questão na internet, mas tem um ponto da resolução que não entendo, aliás antes de ver as resoluções eu tentei fazer pelo mesmo raciocínio e travei em um ponto que não entendo com ou sem resolução, se alguém puder me ajudar me mostrando onde estou errando, ficarei muito agradecida.

Primeiramente, para encontrar a área do triângulo preciso encontrar o tamanho dos segmentos AP e AQ.
com os pontos dados encontrei as equações das retas AC: y = -x + 1
AB: y = x - 1

Então tento encontrar os pares dos pontos P e Q (considerando que a abscissa de P é igual à ordenada de Q em todo o instante do deslocamento):
P (x, -x+1)
Q (? , x)

Minha dificuldade está em encontrar a abscissa do ponto Q, já que substituindo y = x na equação da reta AB dá uma indeterminação.

[LostWalker]

Sua Dúvida e Introdução

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Pelo que entendi, sua dúvida foi sobre como definir a abcissa do ponto [tex3]Q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q[/tex3]

. Para encontrá-la, bastava usar a própria reta [tex3]\overline{AB}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

, mas imagino que a confusão veio daí, já que são muitos termos pra tomar conta. Eu vou responder a questão desde o início, e uma hora, chegarei nessa parte em específico.

Vamos iniciar definindo:
[tex3]P=(x_{_{P}},y_{_{P}})\\Q=(x_{_{Q}},y_{_{Q}})[/tex3]

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[tex3]P=(x_{_{P}},y_{_{P}})\\Q=(x_{_{Q}},y_{_{Q}})[/tex3]

Retas e Retas :v

---

Por pura questão de praticidade, vamos definir [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

como a reta de [tex3]\overline{AB}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

e [tex3]s[/tex3]

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[tex3]s[/tex3]

a reta de [tex3]\overline{AC}[/tex3]

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[tex3]\overline{AC}[/tex3]

. Vou usar o método de "determinante" para construir as equações gerais das retas


[tex3]r:\,\,\,
\begin{vmatrix}
x&y\\
x_{_{A}}&y_{_{A}}\\
x_{_{B}}&y_{_{B}}\\
x&y\\
\end {vmatrix}
\rightarrow
\begin{vmatrix}
x&y\\
1&0\\
2&1\\
x&y\\
\end {vmatrix}[/tex3]

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[tex3]r:\,\,\,
\begin{vmatrix}
x&y\\
x_{_{A}}&y_{_{A}}\\
x_{_{B}}&y_{_{B}}\\
x&y\\
\end {vmatrix}
\rightarrow
\begin{vmatrix}
x&y\\
1&0\\
2&1\\
x&y\\
\end {vmatrix}[/tex3]

[tex3]r:\,\,\,(0\cdot x+1\cdot1+2\cdot y)-(1\cdot y+0\cdot2+1\cdot x)=0\\\boxed{r:\,\,\,x-y-1=0}[/tex3]

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[tex3]r:\,\,\,(0\cdot x+1\cdot1+2\cdot y)-(1\cdot y+0\cdot2+1\cdot x)=0\\\boxed{r:\,\,\,x-y-1=0}[/tex3]

[tex3]s:\,\,\,
\begin{vmatrix}
x&y\\
x_{_{A}}&y_{_{A}}\\
x_{_{C}}&y_{_{C}}\\
x&y\\
\end {vmatrix}
\rightarrow
\begin{vmatrix}
x&y\\
1&0\\
0&1\\
x&y\\
\end {vmatrix}[/tex3]

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[tex3]s:\,\,\,
\begin{vmatrix}
x&y\\
x_{_{A}}&y_{_{A}}\\
x_{_{C}}&y_{_{C}}\\
x&y\\
\end {vmatrix}
\rightarrow
\begin{vmatrix}
x&y\\
1&0\\
0&1\\
x&y\\
\end {vmatrix}[/tex3]

[tex3]s:\,\,\,(0\cdot x+1\cdot1+0\cdot y)-(1\cdot y+0\cdot0+1\cdot x)=0\\\boxed{s:\,\,\,x+y-1=0}[/tex3]

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[tex3]s:\,\,\,(0\cdot x+1\cdot1+0\cdot y)-(1\cdot y+0\cdot0+1\cdot x)=0\\\boxed{s:\,\,\,x+y-1=0}[/tex3]

Apenas Uma Váriavel

---

Como temos as retas [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

e [tex3]s[/tex3]

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[tex3]s[/tex3]

, podemos fazer colocar a ordena em função da abcissa, sobre tudo dos pontos [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

e [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

[tex3]r:\,\,\,y_{_{Q}}=x_{_{Q}}-1\\s:\,\,\,y_{_{P}}=1-x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]r:\,\,\,y_{_{Q}}=x_{_{Q}}-1\\s:\,\,\,y_{_{P}}=1-x_{_{P}}[/tex3]

Agora, vamos usar a nossa informação privilegiada: a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Ou seja, [tex3]x_{_{P}}=y_{_{Q}}[/tex3]

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[tex3]x_{_{P}}=y_{_{Q}}[/tex3]

. Vamos fazer as devidas substituições em tudo.

[tex3]\color{SeaGreen}x_{_{P}}=x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]\color{SeaGreen}x_{_{P}}=x_{_{P}}[/tex3]

[tex3]\color{SeaGreen}y_{_{_P}}=1-x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]\color{SeaGreen}y_{_{_P}}=1-x_{_{P}}[/tex3]

[tex3]y_{_{Q}=}x_{_{Q}}-1\,\,\therefore\,\,x_{_{Q}}=1+y_{_{Q}}\,\,\therefore\,\,\color{SeaGreen}x_{_{Q}}=1+x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]y_{_{Q}=}x_{_{Q}}-1\,\,\therefore\,\,x_{_{Q}}=1+y_{_{Q}}\,\,\therefore\,\,\color{SeaGreen}x_{_{Q}}=1+x_{_{P}}[/tex3]

[tex3]\color{SeaGreen}y_{_{Q}}=x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]\color{SeaGreen}y_{_{Q}}=x_{_{P}}[/tex3]

Logo
[tex3]P=(\,\,\,\,\,x_{_{P}}\,\,\,\,\,,1-x_{_{P}})\\Q=(1+x_{_{P}},\,\,\,\,\,x_{_{P}}\,\,\,\,\,)[/tex3]

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[tex3]P=(\,\,\,\,\,x_{_{P}}\,\,\,\,\,,1-x_{_{P}})\\Q=(1+x_{_{P}},\,\,\,\,\,x_{_{P}}\,\,\,\,\,)[/tex3]

Área Pela Variável

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Vou usar o método por Geometria Plana por ser mais simples.

[tex3]\overline{AQ}=\sqrt{(x_{_{A}}-x_{_{Q}})^2+(y_{_{A}}-y_{_{Q}})^2}=\sqrt2\cdot(1-x_{_{P}})\\
\overline{AP}=\sqrt{(x_{_{A}}-x_{_{P}})^2+(y_{_{A}}-y_{_{P}})^2}=\sqrt2\cdot x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]\overline{AQ}=\sqrt{(x_{_{A}}-x_{_{Q}})^2+(y_{_{A}}-y_{_{Q}})^2}=\sqrt2\cdot(1-x_{_{P}})\\
\overline{AP}=\sqrt{(x_{_{A}}-x_{_{P}})^2+(y_{_{A}}-y_{_{P}})^2}=\sqrt2\cdot x_{_{P}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{\overline{AP}\cdot\overline{AQ}}{2}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sqrt2}}\cdot x_{_{P}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sqrt2}}\cdot(1-x_{_{P}})}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\overline{AP}\cdot\overline{AQ}}{2}=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sqrt2}}\cdot x_{_{P}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sqrt2}}\cdot(1-x_{_{P}})}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{A=x_{_{P}}(1-x_{_{P}})}[/tex3]

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[tex3]\boxed{A=x_{_{P}}(1-x_{_{P}})}[/tex3]

Definindo o Maior Valor Possível

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Por mais que aja uma solução mais formosa, eu diria, por desigualdade das médias, vou usar o vértice da parábola.

[tex3]A=x_{_{P}}(1-x_{_{P}})\\A=-x^2_{_{P}}+x_{_{P}}[/tex3]

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[tex3]A=x_{_{P}}(1-x_{_{P}})\\A=-x^2_{_{P}}+x_{_{P}}[/tex3]

[tex3]A_{\max}=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-\big(1^2-4\cdot(-1)\cdot0\big)}{4\cdot(-1)}[/tex3]

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[tex3]A_{\max}=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-\big(1^2-4\cdot(-1)\cdot0\big)}{4\cdot(-1)}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A_{\max}=\frac{1}{4}}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A_{\max}=\frac{1}{4}}[/tex3]

[florestinha89]

LostWalker, Muito obrigada, viu?! Salvou muito!! Tô desde ontem nessa questão, mas sua explicação foi perfeita!

[Carlosft57]

Complemento dinâmico da resolução:

GEOMETRIA ANALÍTICA - Triângulo de área variável / RASCmat #44
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Neste vídeo é analisado um triângulo de área variável e a resolução na perspectiva da Geometria Analítica, bem como a utilização de metodologias alternativas:
► Determinantes - para a determinação das equações das retas
► Derivada - valor máximo da área do triângulo [PAQ]

Link do vídeo: https://youtu.be/3k3rPF7rvk4

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