IME / ITA ⇒ (Simuado-Ime/Ita) Equação Tópico resolvido

[AngelitaB]

Se a ,b e c são raízes reais e distintas da equação x³ + 3x² - 24x + 1=0,então o valor de [tex3]\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}[/tex3]

é:
a)-3
b)-1
c) 0
d) 1
d) 3

[danjr5]

Olá AngelitaB!

Da equação, tiramos que:

[tex3]\\ \mathtt{x^3 + 3x^2 - 24x + 1 = 0} \\\\ \mathtt{(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 27x = 0} \\\\ \mathtt{(x + 1)^3 = 27x} \\\\ \mathtt{(x + 1) = \sqrt[3]{27x}} \\\\ \mathtt{x + 1 = 3\sqrt[3]{x}} \\\\ \boxed{\mathtt{\sqrt[3]{x} = \frac{x + 1}{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathtt{x^3 + 3x^2 - 24x + 1 = 0} \\\\ \mathtt{(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 27x = 0} \\\\ \mathtt{(x + 1)^3 = 27x} \\\\ \mathtt{(x + 1) = \sqrt[3]{27x}} \\\\ \mathtt{x + 1 = 3\sqrt[3]{x}} \\\\ \boxed{\mathtt{\sqrt[3]{x} = \frac{x + 1}{3}}}[/tex3]

Por conseguinte,

[tex3]\\ \mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} =} \\\\ \mathtt{\frac{a + 1}{3} + \frac{b + 1}{3} + \frac{c + 1}{3} =} \\\\ \mathtt{\frac{(a + b + c) + 3}{3} =}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} =} \\\\ \mathtt{\frac{a + 1}{3} + \frac{b + 1}{3} + \frac{c + 1}{3} =} \\\\ \mathtt{\frac{(a + b + c) + 3}{3} =}[/tex3]

De acordo com o enunciado, [tex3]\mathtt{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{a}[/tex3]

, [tex3]\mathtt{b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{b}[/tex3]

e [tex3]\mathtt{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{c}[/tex3]

são raízes da equação [tex3]\mathtt{x^3 + 3x^2 - 24x + 1 = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{x^3 + 3x^2 - 24x + 1 = 0}[/tex3]

. Por Girard, podemos determinar o resultado da soma das raízes... Segue,

[tex3]\\ \mathtt{x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{3}{1}} \\\\ \boxed{\mathtt{a + b + c = - 3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathtt{x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{3}{1}} \\\\ \boxed{\mathtt{a + b + c = - 3}}[/tex3]

Por fim,

[tex3]\\ \mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{(a + b + c) + 3}{3}} \\\\\\ \mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{- 3 + 3}{3}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = 0 }}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{(a + b + c) + 3}{3}} \\\\\\ \mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{- 3 + 3}{3}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = 0 }}}[/tex3]