Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Sistema Linear

[lndrj1]

Para quais os valores de a o sistema linear, admite solução.

{x + y + z = 1
{2x + 3y + 4z = a
{......-y - 2z = a²


os pontinhos foram apenas para deixa certinho o sistema

Gabarito: a=1 ou a=-2

[danjr5]

Basta trocar uma coluna de coeficiente (qualquer) pela coluna do termo independente - sistema.

Código: Selecionar tudo

[tex3]\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 3 & 4 \\ a^2 & - 1 & - 2 \end{bmatrix} = \\\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 1 \\ a & 3 & 4 & | & a & 3 \\ a^2 & - 1 & - 2 & | & a^2 & - 1 \end{bmatrix} = \\\\\\ - 6 + 4a^2 - a - 3a^2 + 4 + 2a = 0 \\ a^2 + a - 2 = 0 \\ (a + 2)(a - 1) = 0 \\ \boxed{a = - 2} \\ \boxed{a = 1}[/tex3]

[Jhonatan]

Alguém poderia me explicar um detalhe nessa questão ? Eu fiz o determinante da matriz principal e obtive 0, logo, o sistema só pode ser possível e indeterminado (já que a questão quer que haja solução).
Porém, por qual razão eu deve considerar que o determinante da matriz obtida substituindo uma coluna dos coeficientes de alguma incógnita (supondo x) pela dos termos independentes também deve ser 0 pra haver spi ? isto é, por que Dx = 0 ?
Dx --> determinante da matriz substituindo os coeficientes da coluna X pelos termos independentes (1, a e a²)

[danjr5]

Olá Jhonatan!

Alguém poderia me explicar um detalhe nessa questão ? Eu fiz o determinante da matriz principal e obtive 0, logo, o sistema só pode ser possível e indeterminado (já que a questão quer que haja solução).
Porém, por qual razão eu deve considerar que o determinante da matriz obtida substituindo uma coluna dos coeficientes de alguma incógnita (supondo x) pela dos termos independentes também deve ser 0 pra haver spi ? isto é, por que Dx = 0 ?
Dx --> determinante da matriz substituindo os coeficientes da coluna X pelos termos independentes (1, a e a²)

Quanto à solução de um sistema de equações, temos duas possibilidades: a de existir ou não. Quando existe solução dizemos que o sistema é possível; quando não, impossível. Ademais, temos que o sistema possível poderá ser determinado ou indeterminado.

Você calculou o determinante da matriz principal e encontrou zero, ou seja, [tex3]\mathbf{\Delta = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbf{\Delta = 0}[/tex3]

. Diante disso, podemos tirar que o sistema poderá ser possível e indeterminado e, também, impossível!

Substituindo a primeira coluna da matriz principal (coeficientes de x), por exemplo, pelos termos independentes, obtemos [tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3]

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[tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3]

. Sabe-se que [tex3]\displaystyle \boxed{\mathbf{x = \frac{\Delta_x}{\Delta}}}[/tex3]

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[tex3]\displaystyle \boxed{\mathbf{x = \frac{\Delta_x}{\Delta}}}[/tex3]

.

Uma vez que [tex3]\mathbf{\Delta = 0}[/tex3]

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[tex3]\mathbf{\Delta = 0}[/tex3]

, o sistema poderá ser possível (e indeterminado) ou impossível. Dependerá de [tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3]

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[tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3]

.

[tex3]\bullet[/tex3]

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[tex3]\bullet[/tex3]

Supondo [tex3]\mathtt{\Delta_x = 0}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{\Delta_x = 0}[/tex3]

, então o sistema será possível (e indeterminado);

[tex3]\bullet[/tex3]

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[tex3]\bullet[/tex3]

Supondo [tex3]\mathtt{\Delta_x \neq 0}[/tex3]

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[tex3]\mathtt{\Delta_x \neq 0}[/tex3]

, então o sistema será impossível.

De acordo com enunciado, devemos determinar o(s) valor(es) de [tex3]\mathbf{a}[/tex3]

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[tex3]\mathbf{a}[/tex3]

para que o sistema admita solução, isto é, seja possível.

Diante do exposto, se [tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3]

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[tex3]\mathbf{\Delta_x}[/tex3]

tiver qualquer outro valor diferente de zero, então o sistema não será possível. Será impossível! Tomemos como exemplo a equação [tex3]\mathsf{0y = 5}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{0y = 5}[/tex3]

. Sabemos que ela não tem solução, pois [tex3]\mathbf{\nexists \, y}[/tex3]

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[tex3]\mathbf{\nexists \, y}[/tex3]

... Veja:

[tex3]\\ \mathsf{0 \cdot y = 5} \\\\ \mathsf{y = \frac{5}{0}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{0 \cdot y = 5} \\\\ \mathsf{y = \frac{5}{0}}[/tex3]