Ensino Superior ⇒ Coeficiente angular- (Área Mínima) Tópico resolvido

[Hollo]

Um homem de 6 pés de altura deseja construir uma estufa de plantas de comprimento L e largura de 18 pés contra a parede externa de sua casa, colocando um vidro inclinado medindo y do chão a parede (Fig. 4.19).
Ele considera útil o espaço na estufa até o ponto em que pode ficar de pé sem bater a cabeça. Sendo o custo de construir o teto proporcional a y, ache o coeficiente angular do teto que minimiza o custo por metro quadrado de espaço útil.
Sugestão: observe que a condição equivale a minimizar y /x.

Resposta

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1

[csmarcelo]

[tex3]\frac{x}{18}=\frac{h-6}{h}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{18}=\frac{h-6}{h}[/tex3]

[tex3]x=18-\frac{18\cdot6}{h}[/tex3]

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[tex3]x=18-\frac{18\cdot6}{h}[/tex3]

[tex3]y=\sqrt{18^2+h^2}[/tex3]

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[tex3]y=\sqrt{18^2+h^2}[/tex3]

Mas o coeficiente angular [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é igual a [tex3]\frac{h}{18}[/tex3]

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[tex3]\frac{h}{18}[/tex3]

Logo,

[tex3]x=18-\frac{6}{a}[/tex3]

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[tex3]x=18-\frac{6}{a}[/tex3]

[tex3]y=\sqrt{18^2+(18a)^2}=18\sqrt{\(1+a^2\)}[/tex3]

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[tex3]y=\sqrt{18^2+(18a)^2}=18\sqrt{\(1+a^2\)}[/tex3]

Daí,

[tex3]\frac{y}{x}=\frac{18\sqrt{1+a^2}}{18-\frac{6}{a}}=\frac{3a\sqrt{1+a^2}}{3a-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{y}{x}=\frac{18\sqrt{1+a^2}}{18-\frac{6}{a}}=\frac{3a\sqrt{1+a^2}}{3a-1}[/tex3]

Derivando

[tex3]\(\frac{y}{x}\)'=\frac{9a^3-6a^2-3}{(3a-1)^2\sqrt{1+a^2}}[/tex3]

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[tex3]\(\frac{y}{x}\)'=\frac{9a^3-6a^2-3}{(3a-1)^2\sqrt{1+a^2}}[/tex3]

Igualando a zero:

[tex3]9a^3-6a^2-3=0\implies a=1[/tex3]

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[tex3]9a^3-6a^2-3=0\implies a=1[/tex3]