Ensino Médio ⇒ (FB) Polinômios Tópico resolvido

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Consideremos o polinômio [tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2[/tex3]

a) Mostre que P(x) tem apenas uma raiz real
b) Mostre que essa raiz real é negativa
c) Mostre que essa raiz real é irracional

Resposta

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Eu não consegui a alternativa A.
Na B, uso a Regra dos Sinais de Descartes e vejo que não podem existir raízes reais positivas, e se existirem negativas, são em número de 1 ou 3. Na C, basta usar o teorema das raízes racionais e, por inspeção, verificar que nenhuma das possibilidades é válida.
O problema que encontrei foi esse: quando a regra de Sinais de Descartes diz que existe 1 ou 3 raízes, geralmente o que vejo nos fóruns gringos é que eles acham duas raízes e garantem pela regra que existe mais uma. Entretanto, como provar que SÓ EXISTE UMA?

[Ittalo25]

[tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2 = (x+1)^3+2 \cdot (x+1) + 1[/tex3]

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[tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2 = (x+1)^3+2 \cdot (x+1) + 1[/tex3]

Faça: [tex3]x+1\rightarrow x[/tex3]

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[tex3]x+1\rightarrow x[/tex3]

. Se as raízes são reais, continuaram sendo reais ao adicionar +1, analogamente para raízes complexas.
[tex3]P(x) = x^3+2x+1 [/tex3]

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[tex3]P(x) = x^3+2x+1 [/tex3]

[tex3]P(1) = 4 [/tex3]

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[tex3]P(1) = 4 [/tex3]

e [tex3]P(-1) = -2 [/tex3]

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[tex3]P(-1) = -2 [/tex3]

Como o sinal mudou, existe pelo menos uma raiz real.

Se existem 3 raízes reais, a,b e c, então: [tex3]P(a) = P(b) =0[/tex3]

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[tex3]P(a) = P(b) =0[/tex3]

Pelo Teorema de Rolle, então existe d no intervalo ]a,b[ tal que [tex3]P'(d)=0 [/tex3]

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[tex3]P'(d)=0 [/tex3]

Mas [tex3]P'(x) = 3x^2+2 > 0 [/tex3]

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[tex3]P'(x) = 3x^2+2 > 0 [/tex3]

Absurdo.

Sendo assim existe apenas uma raiz real.

a b) é meio óbvia, se a raiz for positiva, então: [tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2 >0[/tex3]

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[tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2 >0[/tex3]

a c) bastar testar 1,-1,2,-2 pelo teorema das raízes racionais.