Ensino Superior ⇒ Derivação usando a definição de derivadas Tópico resolvido

[gabibibi]

Olá, preciso de ajuda para resolver um exercício envolvendo a resolução de derivadas por definição. O método é definido pelo exercício, então não pode ser utilizado outra regra e fórmula (tinha até conseguido resolver o exercício usando as regras de derivação, mas agora estou tendo que refazer).

A função é a seguinte:

f(x) = [tex3]\frac{4 - x}{5 - x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4 - x}{5 - x^{2}}[/tex3]

Para esclarecer melhor o modo que o exercício deveria ser resolvido, já que talvez não tenha conseguido ser tão clara, deixo aqui outro exercício da mesma lista o qual consegui resolver:

IMG_20210421_093006_613~2.jpg (38.41 KiB) Exibido 3275 vezes

(Desculpa pela qualidade da imagem)

A resposta no gabarito está abaixo:

Resposta

---

[tex3]\frac{-x^{2}+8x-5}{(5 - x^{2})^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-x^{2}+8x-5}{(5 - x^{2})^{2}}[/tex3]

Deixo também em anexo para melhor visualização a definição da derivada.

Se alguém puder me ajudar com essa questão eu agradeceria. Obrigada desde já!

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{\frac{4-x-∆x}{5-(x+∆x)^2} + \frac{x-4}{5-x^2}}{∆x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{\frac{4-x-∆x}{5-(x+∆x)^2} + \frac{x-4}{5-x^2}}{∆x}[/tex3]

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{(5-x^2).(4-x-∆x)+[5-(x+∆x)^2].(x-4)}{∆x.[5-(x+∆x)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{(5-x^2).(4-x-∆x)+[5-(x+∆x)^2].(x-4)}{∆x.[5-(x+∆x)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{-5∆x+∆x.x^2-2∆x.x^2+8∆x.x-(∆x)^2.x+4.(∆x)^2}{∆x.[5-(x+∆x)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{-5∆x+∆x.x^2-2∆x.x^2+8∆x.x-(∆x)^2.x+4.(∆x)^2}{∆x.[5-(x+∆x)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Cuidado!!! (∆x)^2 ≠ ∆x².

Simplificando, resulta;

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{-5+x^2-2x^2+8x-∆x.x+4.∆x}{[5-(x+∆x)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(x) = \lim_{∆x \rightarrow \ 0}\frac{-5+x^2-2x^2+8x-∆x.x+4.∆x}{[5-(x+∆x)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Aplicando o limite com ∆x tendendo a zero( 0 ) , vem;

[tex3]m(x) = \frac{-5+x^2-2x^2+8x-0.x+4.0}{[5-(x+0)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(x) = \frac{-5+x^2-2x^2+8x-0.x+4.0}{[5-(x+0)^2].(5-x^2)}[/tex3]

Portanto, [tex3]m(x) = \frac{-x^2+8x-5}{(5-x^2)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m(x) = \frac{-x^2+8x-5}{(5-x^2)^2}[/tex3]

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Excelente estudo!