A)30°
B)45°
C)15°
D)22° 33'
E)60°
Resposta
E
Ensino Fundamental ⇒ Semicircunferências concêntricas. Tópico resolvido
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geobson
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Mar 2021
16
11:24
Semicircunferências concêntricas.
Calcular m arc. QR, sabendo que HP=PQ e HS=2SQ.
A)30°
B)45°
C)15°
D)22° 33'
E)60°
E
A)30°
B)45°
C)15°
D)22° 33'
E)60°
E
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Deleted User 25040
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Mar 2021
16
12:35
Re: Semicircunferências concêntricas.
eu considerei PH tangente.
seja R e r as medidas dos raios, da circunferência maior e menor respectivamente.
por potencia de ponto [tex3]HP^2=(R-r)(r+R)[/tex3] mas também
[tex3](3x)x=(R-r)(r+R)[/tex3] ou seja [tex3]\sqrt{3}x=HP[/tex3]
usando a lei dos cossenos
[tex3](3x)^2=(\sqrt{3}x)^2+(\sqrt{3}x)^2-2(\sqrt{3}x)(\sqrt{3}x)\cos {\angle HPQ}[/tex3]
[tex3]9x^2=6x^2-6x^2\cos {\angle HPQ}[/tex3]
[tex3]\cos {\angle HPQ}={-1\over2}[/tex3]
[tex3]\angle HPQ = 120º[/tex3]
mas via lei dos senos em HPS
[tex3]\alpha=\angle QPR[/tex3]
[tex3]{2x\over \sen{(120º - \alpha)}}={\sqrt{3}x\over\sen{(\alpha+30º)}}[/tex3]
[tex3]{\sqrt{3}\over2}={\sen(\alpha+30º)\over\sen(120º-\alpha)}={\sen(\alpha+30º)\over \sen(60º+\alpha)}[/tex3]
[tex3]{\sen60º\over\sen90º}={\sen(\alpha+30º)\over \sen(60º+\alpha)}[/tex3] e pelo truque da cotangente
[tex3]\alpha = 30º[/tex3]
[tex3]\text{arco QR}=30º\cdot2[/tex3]
seja R e r as medidas dos raios, da circunferência maior e menor respectivamente.
por potencia de ponto [tex3]HP^2=(R-r)(r+R)[/tex3] mas também
[tex3](3x)x=(R-r)(r+R)[/tex3] ou seja [tex3]\sqrt{3}x=HP[/tex3]
usando a lei dos cossenos
[tex3](3x)^2=(\sqrt{3}x)^2+(\sqrt{3}x)^2-2(\sqrt{3}x)(\sqrt{3}x)\cos {\angle HPQ}[/tex3]
[tex3]9x^2=6x^2-6x^2\cos {\angle HPQ}[/tex3]
[tex3]\cos {\angle HPQ}={-1\over2}[/tex3]
[tex3]\angle HPQ = 120º[/tex3]
mas via lei dos senos em HPS
[tex3]\alpha=\angle QPR[/tex3]
[tex3]{2x\over \sen{(120º - \alpha)}}={\sqrt{3}x\over\sen{(\alpha+30º)}}[/tex3]
[tex3]{\sqrt{3}\over2}={\sen(\alpha+30º)\over\sen(120º-\alpha)}={\sen(\alpha+30º)\over \sen(60º+\alpha)}[/tex3]
[tex3]{\sen60º\over\sen90º}={\sen(\alpha+30º)\over \sen(60º+\alpha)}[/tex3] e pelo truque da cotangente
[tex3]\alpha = 30º[/tex3]
[tex3]\text{arco QR}=30º\cdot2[/tex3]
Editado pela última vez por Deleted User 25040 em 16 Mar 2021, 12:37, em um total de 1 vez.
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