01) Reescrevendo a matriz como uma sequência de dígitos, fica mais fácil de achar as combinações. Exemplo de uma matriz possível:
[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
permutação com repetição: [tex3]P_9^{6, 3} = \frac{9!}{6!3!} = 84[/tex3]
Correta
02) Para uma matriz possuir inversa, o determinante deve ser diferente de 0, então é necessário que ela 1: não tenha linhas ou colunas paralelas iguais. 2: não tenha uma linha ou coluna com elementos todos iguais a 0. Vamos achar quantas satisfazem a condição para det [tex3]\neq[/tex3]
0.
Exemplo:
[tex3]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Com o uso do PFC, vamos verificar quantas são as possibilidades de escolha para a posição do um para a primeira linha, depois de escolhida a primeira linha, verificar quantas são as possibilidades para a segunda, e assim em diante.
Primeira linha: 3 possibilidades, não há restrição
Segunda linha: 2 possibilidades, não se pode inserir o um logo abaixo do primeiro
Terceira linha: 1 possibilidade, o um deve ir na posição que não está abaixo do primeiro nem do segundo um.
[tex3]3 \cdot 2 \cdot 1 = 6[/tex3]
Se existem 6 matrizes com determinante [tex3]\neq[/tex3]
0, então não se pode ter [tex3]12[/tex3]
matrizes inversas
Incorreta
04) Separando em três casos:
Caso 1: [tex3]a_{1,1} = a_{2, 2} = 1 \text{ e } a_{3,3}=0[/tex3]
Caso 2: [tex3]a_{2, 2} = a_{3, 3} = 1 \text{ e } a_{1,1}=0[/tex3]
Caso 3: [tex3]a_{1,1} = a_{3, 3} = 1 \text{ e } a_{2,2}=0[/tex3]
Exemplo do caso 3:
[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Nos três casos, o outro número um ainda precisa ser colocado fora da diagonal principal, e para cada caso existem 6 possibilidades disso acontecer (ver exemplo):
[tex3]6 + 6 + 6 = 18 [/tex3]
Correta
08)Para uma matriz [tex3]3\times 3[/tex3]
ser simétrica, ela precisa ser da forma
[tex3]\begin{pmatrix}
m & a & b \\
a & n & c \\
b & c & p \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Três casos:
Caso 1:
[tex3]a = 1, b = c = 0[/tex3]
Caso 2:
[tex3]b = 1, a = c = 0[/tex3]
Caso 3:
[tex3]c = 1, a = b = 0[/tex3]
Exemplo do caso 2:
[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Em cada caso, existem apenas três possibilidade de inserir o outro 1, que é na posição [tex3]a_{1,1}, a_{2,2} \text{ ou } a_{3,3}[/tex3]
[tex3]3 + 3 + 3 = 9[/tex3]
Incorreta
EDIT: existe também a possibilidade de [tex3]a = b = c = 0[/tex3] e [tex3]a_{1,1} = a_{2,2} = a_{3,3}[/tex3], portanto, são 10 as possíveis matrizes.
16) Contra-exemplo:
[tex3]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
\end{vmatrix} = -1[/tex3]
Incorreta
Se alguém quiser corrigir ou acrescentar algo, sinta-se à vontade
