Ensino Superior ⇒ Limites Tópico resolvido

[jaopimentinha]

1) Marque a alternativa correta.
[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x^3−3x^2+3x −1)}{(x−1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x^3−3x^2+3x −1)}{(x−1)}[/tex3]

A) 1
B) 0
C) −1
D) Não existe
E) 0/0


Alguém poderia me auxiliar na resolução dessa questão? Grato.

[JohnnyEN]

olá,

olhando o numerador e se você manjar um pouco de produtos notaveis da pra saber que se trata do [tex3](x-1)^{3}[/tex3]

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[tex3](x-1)^{3}[/tex3]

substituindo temos:

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x^3−3x^2+3x −1)}{(x−1)}\rightarrow \frac{(x-1)^{3}}{(x-1)}\rightarrow (x-1)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x^3−3x^2+3x −1)}{(x−1)}\rightarrow \frac{(x-1)^{3}}{(x-1)}\rightarrow (x-1)^{2}[/tex3]

aplicando o limite temos: que o valor é 0

acredito que seja isso

[CarlosBruno]

Sou meio leigo em cálculo quando é trabalhar com uma linguagem formal, entretanto ainda vou tentar explicar. Quando você calcula o limite de uma função algébrica é comum procurar saber se substituindo diretamente na expressão encontramos algum valor. Entretanto nesse caso encontraremos denominador zero o que não satisfaz nossa primeira análise.

Então para continuar é fatorando o numerador, assim [tex3]x^3 - 3x^2 + 3x -1 = (x-1)(x^2-2x+1)=(x-1)^3[/tex3]

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[tex3]x^3 - 3x^2 + 3x -1 = (x-1)(x^2-2x+1)=(x-1)^3[/tex3]

Portanto: [tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-1)^2}{x-1}=\lim_{x \to 1} \ (x-1)^2[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-1)^2}{x-1}=\lim_{x \to 1} \ (x-1)^2[/tex3]

Aqui encontramos um limite de uma função polinomial do grau dois se desenvolvido o produto notável, e assim sabendo que ela é uma função contínua durante todo seu domínio. Concluimos que:

[tex3]\lim_{x \to 1} \ (x-1)^2 = (1-1)^2=0^2=0[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \to 1} \ (x-1)^2 = (1-1)^2=0^2=0[/tex3]

Gabarito encontrado: Letra B

[CarlosBruno]

olá,

olhando o numerador e se você manjar um pouco de produtos notaveis da pra saber que se trata do [tex3](x-1)^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-1)^{3}[/tex3]

substituindo temos:

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x^3−3x^2+3x −1)}{(x−1)}\rightarrow \frac{(x-1)^{3}}{(x-1)}\rightarrow (x-1)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{(x^3−3x^2+3x −1)}{(x−1)}\rightarrow \frac{(x-1)^{3}}{(x-1)}\rightarrow (x-1)^{2}[/tex3]

aplicando o limite temos: que o valor é 0

acredito que seja isso

Acabei respondendo em cima de sua, desculpa meu caro, estava escrevendo a resposta e quando terminei você mandou junto.

[JohnnyEN]

opa, nenhum problema amigo, quanto mais respostas mais podemos ajudar uma outra pessoa

[careca]

Dá pra aplicar um l'hospital também, resolve na hora.

[CarlosBruno]

Dá pra aplicar um l'hospital também, resolve na hora.

Pela simplicidade da questão, acredito que perderia o aprendizado de limites usando a regra.

[careca]

Realmente, essa questão é um limite mais simples. Usar L'hospital é querer matar uma mosca com uma bazuca

[jaopimentinha]

Muito obrigado a todos que responderam!