Ensino Superior ⇒ Combinação linear dos segmentos de um triângulo Tópico resolvido

[cocodilo]

Boa tarde, estou sentindo muita dificuldade em a achar a resolução para essa questão:

"No triângulo ABC da figura os pontos P e Q são tais que AP= AC/3 e BQ= 2BC/3

Escreva BP, BQ e PQ como combinações lineares de BA e BC, ou seja, cada um dos vetores BP, BQ e PQ devem ser escritos em função de BA e BC."

Desde já, obrigado.

[undefinied3]

Basta escrever P e Q como médias ponderadas dos vértices do triângulo.

Por exemplo, o ponto médio de um segmento é [tex3]\frac{A+B}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{A+B}{2}[/tex3]

, mas se quisermos um ponto que está a uma unidade de A e 3 de B, então temos [tex3]\frac{3A+B}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{3A+B}{4}[/tex3]

.

Aí fica fácil. Indo pra sua figura:
[tex3]P=\frac{\frac{1}{3}|AC|*C+\frac{2}{3}|AC|*A}{|AC|}=\frac{2A+C}{3}[/tex3]

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[tex3]P=\frac{\frac{1}{3}|AC|*C+\frac{2}{3}|AC|*A}{|AC|}=\frac{2A+C}{3}[/tex3]

Só que ele pede BP em função de BA e BC. Mas sabemos que [tex3]\vec{BP}=P-B[/tex3]

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[tex3]\vec{BP}=P-B[/tex3]

. Então vamos subtrair B dos dois lados da equação:
[tex3]P-B=\frac{2A+C}{3}-\frac{2B+B}{3} \rightarrow \vec{BP}=\frac{2\vec{BA}+\vec{BC}}3{}[/tex3]

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[tex3]P-B=\frac{2A+C}{3}-\frac{2B+B}{3} \rightarrow \vec{BP}=\frac{2\vec{BA}+\vec{BC}}3{}[/tex3]

Tente fazer o outro.

[cocodilo]

Não estou conseguindo desenvolver 2B/3 + C/3 para que BQ fique em função de BA e BC... Como ficaria?

[undefinied3]

BQ ele já dá na figura. BQ é simplesmente [tex3]\frac{2 \vec{BC}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2 \vec{BC}}{3}[/tex3]

[cocodilo]

Ah então, por fim, PQ ficaria assim né?

Q - P= (2B+C).1/3 - (2A+C).1/3 ==> PQ= 2BA/3

[undefinied3]

Não, você errou o Q: [tex3]Q=\frac{2C+B}{3}[/tex3]

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[tex3]Q=\frac{2C+B}{3}[/tex3]