Ensino Médio

Questão extraída do livro Geometria II do Augusto César Morgado, Eduardo Wagner e Miguel Jorge

Considere um quadrado e um triângulo equilátero de mesmo lado [tex3]a[/tex3] , como mostra a figura. Calcule a área assinalada (hachurada).

: Triangulo e quadrado.jpg (41.71 KiB) Exibido 3946 vezes

Olá,

: Sem título.png (10.54 KiB) Exibido 3939 vezes

Observe [tex3]\triangle AED[/tex3] : o ângulo [tex3]D\widehat{E}A=\arctg \frac{1}{2}[/tex3] , logo [tex3]\overline{IB}=\frac{a}{2}[/tex3] . Veja agora que o ângulo [tex3]I\widehat{H}B[/tex3] é externo ao triângulo [tex3]\triangle HBE[/tex3] , logo [tex3]I\widehat{H}B=\frac{\pi}{3}+\arctg \frac{1}{2}[/tex3] . Também temos que [tex3]I\widehat{B}H=\frac{\pi}{6}[/tex3] . Lei dos senos em [tex3]\triangle IHB[/tex3] :

[tex3]\frac{\overline{IB}}{\sen\left(\frac{\pi}{3}+\arctg \frac{1}{2}\right)}=\frac{\overline{HB}}{\sen\left(\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}-\arctg \frac{1}{2}\right)}\\\\\frac{\frac{a}{2}}{\sen\left(\frac{\pi}{3}+\arctg \frac{1}{2}\right)}=\frac{\overline{HB}}{\cos\left(\arctg \frac{1}{2}\right)}\\\\\frac{a}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{1}{2}\right)}=\frac{\overline{HB}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\\\\overline{HB}=\frac{2a}{2\sqrt{3}+1}[/tex3]

Logo a área pedida é:

[tex3]S=\frac{\overline{IB}\cdot \overline{HB}\cdot \sen\frac{\pi}{6}}{2}\\\\S=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{2a}{2\sqrt{3}+1}\cdot \sen\frac{\pi}{6}}{2}\\\\\boxed{S=\frac{a^2}{4\left(2\sqrt{3}+1\right)}}[/tex3]

Obs: [tex3]\sen(a+b)=\sen a\cdot \cos b+\sen b\cdot \cos a[/tex3]

Abraço.

Muito legal sua resolução

Mensagem não lidapor **Marcos** » Sex 21 Fev, 2014 11:12 · Mensagem não lida por **Marcos** » Sex 21 Fev, 2014 11:12

Olá ALANSILVA.Observe uma outra solução:

: Triangulo e quadrado.gif (3.4 KiB) Exibido 3887 vezes

: Triangulo e quadrado sol..gif (5.48 KiB) Exibido 3887 vezes

[tex3]\left.\begin{array}{clrr}S_{1}+S_{2}=a^2 \\S_{2}+S+S_{3}= \frac{2a\cdot a}{2}=a^2 \end{array}\right\} \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow S_{1}+S_{2}=S_{2}+S+S_{3}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S=S_{1}-S_{3}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S= \frac{a^2}{4}-\frac{a\cdot x\cdot \sen{60^o}}{2}[/tex3] (1)

[tex3]S= \frac{\frac{a\cdot x\cdot \sen{30^o}}{2}}{2} \Rightarrow x=\frac{4\cdot S}{a\cdot \sen{30^o}}[/tex3] (2)

Substituindo (2) em (1):

[tex3]S= \frac{a^2}{4}-\frac{a\cdot \sen{60^o}\cdot \frac{4\cdot S}{a\cdot \sen{30^o}}}{2}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S= \frac{a^2}{4}- 2\sqrt{3}\cdot S[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S\cdot (1+2\sqrt{3})= \frac{a^2}{4}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \boxed{\boxed{S= \left[ \left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44} \right)\cdot a^2 \right] u.a}}[/tex3]

Resposta: [tex3]\left[ \left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44} \right)\cdot a^2 \right] u.a[/tex3]

Mensagem não lidapor **paiva** » Seg 22 Fev, 2021 09:19 · Mensagem não lida por **paiva** » Seg 22 Fev, 2021 09:19

como surgiu esse 44, alguém pode me explicar?

Mensagem não lidapor **petras** » Seg 22 Fev, 2021 15:24 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 22 Fev, 2021 15:24

ALANSILVA,

viewtopic.php?f=8&t=74018

petras, a dúvida foi do paiva...srssr

Mensagem não lidapor **petras** » Seg 22 Fev, 2021 15:29 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 22 Fev, 2021 15:29

ALANSILVA,

Não respondi a dúvida ...apenas estou mencionando que esta questão já foi postada e resolvida

Mensagem não lidapor **petras** » Seg 22 Fev, 2021 15:38 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 22 Fev, 2021 15:38

paiva,

[tex3]\Rightarrow S= \frac{a^2}{4 (1+2\sqrt{3})}=\frac{a^2.(1-2\sqrt{3})}{4 (1+2\sqrt{3}).(1-2\sqrt{3})}=\\
\frac{a^2.(1-2\sqrt{3})}{4(-11)}=\frac{a^2.(1-2\sqrt{3})}{-44}=\boxed{\color{red}\frac{a^2.(2\sqrt{3}-1)}{44}}[/tex3]

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