[tex3]6\sqrt[3]{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}\leq1+(x+y+z)^2[/tex3]
Resposta
Só chego em [tex3](x+y+z)^2-1\geq6\sqrt[3]{(xyz)^2}[/tex3]
e [tex3](1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=-(x+y+z+xyz)^2[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Olimpíadas ⇒ (Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação Tópico resolvido
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triplebig
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Fev 2009
20
12:46
(Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação
Se [tex3]x,y,z[/tex3]
são números reais no intervalo [tex3](-1\,,\,1)[/tex3]
satisfazendo [tex3]xy+xz+zy=1[/tex3]
, mostre que:
[tex3]6\sqrt[3]{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}\leq1+(x+y+z)^2[/tex3]
Só chego em [tex3](x+y+z)^2-1\geq6\sqrt[3]{(xyz)^2}[/tex3]
e [tex3](1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=-(x+y+z+xyz)^2[/tex3]
[tex3]6\sqrt[3]{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}\leq1+(x+y+z)^2[/tex3]
Só chego em [tex3](x+y+z)^2-1\geq6\sqrt[3]{(xyz)^2}[/tex3]
e [tex3](1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=-(x+y+z+xyz)^2[/tex3]
Editado pela última vez por triplebig em 20 Fev 2009, 12:46, em um total de 1 vez.
Fev 2009
20
15:06
Re: (Olímpiada Checa e Eslovaca - 2007) Inequação
Da desigualdade de Cauchy [1]: [tex3](x^2+y^2+z^2)^2\geq\,(xy+xz+yz)^2\,\Rightarrow\,|x^2+y^2+z^2|\geq\,|xy+xz+yz|\,\Rightarrow\,x^2+y^2+z^2\geq\,1[/tex3]
[tex3]\text{(*)}[/tex3]
, já que [tex3]xy+xz+yz=1[/tex3]
.
Dá pra desenvolver [tex3]\text{(*)}[/tex3] :
[tex3]x^2+y^2+z^2\geq\,1[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)\geq\,3[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\geq\,3-2(x^2+y^2+z^2)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x^2+y^2+z^2)+3\geq\,6-2(x^2+y^2+z^2)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
Observe que, por [tex3]\text{MA}\geq\,\text{MG}[/tex3] ,
[tex3](1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\geq\,3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}[/tex3] , logo:
[tex3](x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}\geq\,2\{3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}\}[/tex3]
[tex3]=6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{(x+y+z)^2+1\geq\,6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot(1-z^2)}}[/tex3]
[1] : tirei esse desenvolvimento de Cauchy daqui: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =20&t=9564 . E achei Cauchy e sua prova aqui: http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualda ... hy-Schwarz
Dá pra desenvolver [tex3]\text{(*)}[/tex3] :
[tex3]x^2+y^2+z^2\geq\,1[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)\geq\,3[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,3(x^2+y^2+z^2)-2(x^2+y^2+z^2)\geq\,3-2(x^2+y^2+z^2)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x^2+y^2+z^2)+3\geq\,6-2(x^2+y^2+z^2)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2-2+3\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\,(x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}[/tex3]
Observe que, por [tex3]\text{MA}\geq\,\text{MG}[/tex3] ,
[tex3](1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\geq\,3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}[/tex3] , logo:
[tex3](x+y+z)^2+1\geq\,2\{(1-x^2)+(1-y^2)+(1-z^2)\}\geq\,2\{3\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}\}[/tex3]
[tex3]=6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot\,(1-z^2)}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\boxed{(x+y+z)^2+1\geq\,6\sqrt[3]{(1-x^2)\cdot\,(1-y^2)\cdot(1-z^2)}}[/tex3]
[1] : tirei esse desenvolvimento de Cauchy daqui: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =20&t=9564 . E achei Cauchy e sua prova aqui: http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualda ... hy-Schwarz
Editado pela última vez por Beastie em 20 Fev 2009, 15:06, em um total de 1 vez.
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