OlimpíadasProduto de inteiros

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Beastie
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Produto de inteiros

Mensagem não lida por Beastie »

Prove que o produto de quatro números naturais consecutivos não pode ser o quadrado de um inteiro.



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triplebig
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Fev 2009 13 02:38

Re: Produto de inteiros

Mensagem não lida por triplebig »

Temos que provar que [tex3](n-2)(n-1)(n)(n+1)\neq k^2[/tex3] , para [tex3]n\,,\,k\,\in \,\mathbb{N}[/tex3]

Desenvolvendo o membro da esquerda:

[tex3]n(n-2)(n^2-1)=(n^2-2n)(n^2-1)[/tex3]

Para este último produto ser verdadeiro, teriamos que as seguintes ocasiões:
  • [tex3](1)\;n^2-2n=1\text{ e }n^2-1=k^2[/tex3]

    [tex3]n^2-2n-1=0\;\Right\;\text{sem raizes naturais}[/tex3]
  • [tex3](2)\;n^2-2n=n^2-1[/tex3]

    [tex3]n=\frac{1}{2}\; \notin \; \mathbb{N}[/tex3]
  • [tex3](3)\;n^2-2n=k^2\text{ e }n^2-1=1[/tex3]

    [tex3]n^2=2\;\Leftright\;n=\sqrt{2}\;\notin\;\mathbb{N}[/tex3]
Logo não é possível tal produto existir c.q.d.

Última edição: triplebig (Sex 13 Fev, 2009 02:38). Total de 1 vez.



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Beastie
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Re: Produto de inteiros

Mensagem não lida por Beastie »

Acho que esses três casos não são suficientes pra generalizar. Por exemplo, [tex3]36[/tex3] é quadrado de um inteiro, e pode ser escrito como [tex3]3\cdot12[/tex3] .

Abraços.
Última edição: Beastie (Seg 16 Fev, 2009 12:33). Total de 1 vez.


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triplebig
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Re: Produto de inteiros

Mensagem não lida por triplebig »

Certo, vou tentar algo:

Seja [tex3]k=a\cdot b[/tex3] . [tex3]k^2[/tex3] pode ser escrito [tex3]a\cdot \frac{k^2}{a}[/tex3] ou [tex3]b\cdot \frac{k^2}{b}[/tex3] .

aí temos:

[tex3]n^2-2n=a\text{ e }n^2-1=\frac{k^2}{a}[/tex3]

Pela primeira equação, temos que [tex3]4+4a[/tex3] deve ser um quadrado perfeito. O Valor de [tex3]n[/tex3] seria:

[tex3]1+\sqrt{1+a}[/tex3]

Na segunda:

[tex3]n=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\;\Leftright\;1+\sqrt{1+a}=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\\
\Leftright\;1+2\sqrt{1+a}+1+a=\frac{k^2}{a}+1\\
\Leftright\;2\sqrt{1+a}=\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3]

Com isso [tex3]\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3] deve ser par, que não ocorre para [tex3]a[/tex3] par, logo [tex3]a[/tex3] deve ser ímpar.

Mas pela equação [tex3]n=1+\sqrt{1+a}[/tex3] , vimos que [tex3]n[/tex3] seria par. Para ser par [tex3]\frac{k^2}{a}[/tex3] teria quer ser ímpar.

Então [tex3]\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3] é ímpar, logo não é possível para os inteiros não negativos.

Acho que esse aí cobriu todos os casos né?

Última edição: triplebig (Seg 16 Fev, 2009 13:20). Total de 1 vez.



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