Olimpíadas ⇒ Produto de inteiros
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2009
13
01:51
Produto de inteiros
Prove que o produto de quatro números naturais consecutivos não pode ser o quadrado de um inteiro.
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Fev 2009
13
02:38
Re: Produto de inteiros
Temos que provar que [tex3](n-2)(n-1)(n)(n+1)\neq k^2[/tex3]
Desenvolvendo o membro da esquerda:
[tex3]n(n-2)(n^2-1)=(n^2-2n)(n^2-1)[/tex3]
Para este último produto ser verdadeiro, teriamos que as seguintes ocasiões:
, para [tex3]n\,,\,k\,\in \,\mathbb{N}[/tex3]
Desenvolvendo o membro da esquerda:
[tex3]n(n-2)(n^2-1)=(n^2-2n)(n^2-1)[/tex3]
Para este último produto ser verdadeiro, teriamos que as seguintes ocasiões:
- [tex3](1)\;n^2-2n=1\text{ e }n^2-1=k^2[/tex3]
[tex3]n^2-2n-1=0\;\Right\;\text{sem raizes naturais}[/tex3] - [tex3](2)\;n^2-2n=n^2-1[/tex3]
[tex3]n=\frac{1}{2}\; \notin \; \mathbb{N}[/tex3] - [tex3](3)\;n^2-2n=k^2\text{ e }n^2-1=1[/tex3]
[tex3]n^2=2\;\Leftright\;n=\sqrt{2}\;\notin\;\mathbb{N}[/tex3]
Última edição: triplebig (Sex 13 Fev, 2009 02:38). Total de 1 vez.
Fev 2009
16
12:33
Re: Produto de inteiros
Acho que esses três casos não são suficientes pra generalizar. Por exemplo, [tex3]36[/tex3]
Abraços.
é quadrado de um inteiro, e pode ser escrito como [tex3]3\cdot12[/tex3]
.Abraços.
Última edição: Beastie (Seg 16 Fev, 2009 12:33). Total de 1 vez.
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Fev 2009
16
13:20
Re: Produto de inteiros
Certo, vou tentar algo:
Seja [tex3]k=a\cdot b[/tex3] . [tex3]k^2[/tex3] pode ser escrito [tex3]a\cdot \frac{k^2}{a}[/tex3] ou [tex3]b\cdot \frac{k^2}{b}[/tex3] .
aí temos:
[tex3]n^2-2n=a\text{ e }n^2-1=\frac{k^2}{a}[/tex3]
Pela primeira equação, temos que [tex3]4+4a[/tex3] deve ser um quadrado perfeito. O Valor de [tex3]n[/tex3] seria:
[tex3]1+\sqrt{1+a}[/tex3]
Na segunda:
[tex3]n=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\;\Leftright\;1+\sqrt{1+a}=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\\
\Leftright\;1+2\sqrt{1+a}+1+a=\frac{k^2}{a}+1\\
\Leftright\;2\sqrt{1+a}=\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3]
Com isso [tex3]\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3] deve ser par, que não ocorre para [tex3]a[/tex3] par, logo [tex3]a[/tex3] deve ser ímpar.
Mas pela equação [tex3]n=1+\sqrt{1+a}[/tex3] , vimos que [tex3]n[/tex3] seria par. Para ser par [tex3]\frac{k^2}{a}[/tex3] teria quer ser ímpar.
Então [tex3]\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3] é ímpar, logo não é possível para os inteiros não negativos.
Acho que esse aí cobriu todos os casos né?
Seja [tex3]k=a\cdot b[/tex3] . [tex3]k^2[/tex3] pode ser escrito [tex3]a\cdot \frac{k^2}{a}[/tex3] ou [tex3]b\cdot \frac{k^2}{b}[/tex3] .
aí temos:
[tex3]n^2-2n=a\text{ e }n^2-1=\frac{k^2}{a}[/tex3]
Pela primeira equação, temos que [tex3]4+4a[/tex3] deve ser um quadrado perfeito. O Valor de [tex3]n[/tex3] seria:
[tex3]1+\sqrt{1+a}[/tex3]
Na segunda:
[tex3]n=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\;\Leftright\;1+\sqrt{1+a}=\sqrt{\frac{k^2}{a}+1}\\
\Leftright\;1+2\sqrt{1+a}+1+a=\frac{k^2}{a}+1\\
\Leftright\;2\sqrt{1+a}=\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3]
Com isso [tex3]\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3] deve ser par, que não ocorre para [tex3]a[/tex3] par, logo [tex3]a[/tex3] deve ser ímpar.
Mas pela equação [tex3]n=1+\sqrt{1+a}[/tex3] , vimos que [tex3]n[/tex3] seria par. Para ser par [tex3]\frac{k^2}{a}[/tex3] teria quer ser ímpar.
Então [tex3]\frac{k^2}{a}-a-1[/tex3] é ímpar, logo não é possível para os inteiros não negativos.
Acho que esse aí cobriu todos os casos né?
Última edição: triplebig (Seg 16 Fev, 2009 13:20). Total de 1 vez.
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