Boa noite , segue a dúvida.
Sejam A e B conjuntos e B não enumerável. Prove que se existir uma função sobrejetiva de A em B, então A é não enumerável.
Obrigada.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Conjuntos não enumerável Tópico resolvido
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Jan 2021
21
08:56
Re: Conjuntos não enumerável
Por absurdo, suponha que [tex3]A[/tex3]
Como [tex3]S=\{s_b\mid b\in B\}\subseteq \mathbb{N}[/tex3] , segue que [tex3]S[/tex3] é enumerável. É fácil notar que [tex3]f\big|_S: S\to B[/tex3] é uma bijeção. Portanto, [tex3]B[/tex3] é enumerável, contradição.
é enumerável. Sem perda de generalidade, digamos [tex3]A=\mathbb{N}[/tex3]
e seja [tex3]f[/tex3]
função sobrejetora de [tex3]\mathbb{N}[/tex3]
em [tex3]B[/tex3]
. Dado [tex3]b\in B[/tex3]
, seja [tex3]\mathbb{N}_b:=\{n\in\mathbb{N}\mid f(n)=b\}.[/tex3]
Pela sobrejetividade de [tex3]f[/tex3]
, temos que [tex3]\mathbb{N}[/tex3]
é não vazio. E pelo princípio da boa ordenação, tal conjunto possui menor elemento. Denotemos então [tex3]s_b:=\min\mathbb{N}_b[/tex3]
. Como [tex3]S=\{s_b\mid b\in B\}\subseteq \mathbb{N}[/tex3] , segue que [tex3]S[/tex3] é enumerável. É fácil notar que [tex3]f\big|_S: S\to B[/tex3] é uma bijeção. Portanto, [tex3]B[/tex3] é enumerável, contradição.
"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman
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