Ensino Médio

Calcular a equação das retas que passam pelo ponto (-1;2) e que são tangentes à curva 4xy=1 (hipérbole).

OBS: Questão do livro de cálculo para física. Não possuo gabarito.

Considerando [tex3]y(x) = \frac{1}{4x}[/tex3] , vem que [tex3]y'(x) = -\frac{1}{4x^2}[/tex3]

As retas passam por [tex3](-1,2)[/tex3] e por um ponto [tex3](x,y)[/tex3] que pertencem a curva dada. Mas, [tex3]4xy = 1[/tex3] vem que [tex3]y = \frac{1}{4x}[/tex3]

As retas passam por [tex3](-1,2)[/tex3] e [tex3]\(x,\frac{1}{4x}\)[/tex3] . O coeficiente angular dessa reta é [tex3]\frac{\frac{1}{4x} - 2}{x - 1}[/tex3] . Mas, esse coeficiente angular tem que ser igual no ponto tangente a curva, vem que [tex3]\frac{\frac{1}{4x} - 2}{x + 1}=-\frac{1}{4x^2}[/tex3] , disso vem que [tex3]x = \frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]x=-\frac{1}{4}[/tex3] são soluções.

Vem que [tex3]y=1-x[/tex3] é uma das retas, a outra é só fazer as continhas

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