Olimpíadas ⇒ OBM 2010 - Problema 4 Tópico resolvido
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Jan 2021
10
20:30
OBM 2010 - Problema 4
Seja ABCD um quadrilátero convexo e M e N os pontos médios dos lados CD e AD, respectivamente. As retas perpendiculares a AB passando por M e a BC passando por N cortam-se no ponto P. Prove que P pertence à diagonal BD se, e somente se, as diagonais AC e BD são perpendiculares.
Jan 2021
11
17:06
Re: OBM 2010 - Problema 4
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Jan 2021
12
15:02
Re: OBM 2010 - Problema 4
Essa questão deve ser reescrita.
Prove que se AC é perpendicular a BD então P pertence a BD.
Prove que se AC é perpendicular a BD então P pertence a BD.
Última edição: NigrumCibum (Ter 12 Jan, 2021 16:46). Total de 4 vezes.
Arrêter le temps!
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Jan 2021
12
16:45
Re: OBM 2010 - Problema 4
A solução pode ser encontrada na revista eureka de 2011 n°34 e página 53
OBM-https://www.obm.org.br/revista-eureka/
Na verdade o enunciado está correto.
OBM-https://www.obm.org.br/revista-eureka/
Na verdade o enunciado está correto.
Arrêter le temps!
Jan 2021
12
17:58
Re: OBM 2010 - Problema 4
A ida nem sempre é verdade, conforme o geogebra mostrou e está provado na Eureka.
A volta é sempre verdade, mas como a resolução da Eureka está por geometria analítica, vou demonstrar por geometria plana:
Volta: AC e BD são perpendiculares
- NM paralelo a AC já que é base média de ACD: [tex3]<NIP = <AGB = 90^o[/tex3]
- NIFB é cíclico já que [tex3]<NIB=<NFB [/tex3] , portanto [tex3]<INF = <IBF [/tex3]
- Mas AC é paralelo a MN, então [tex3]<MNH=<AHN [/tex3]
- Sendo assim, [tex3]<GPH = <GPF = <BPF [/tex3] , B,G e P são colineares.
A volta é sempre verdade, mas como a resolução da Eureka está por geometria analítica, vou demonstrar por geometria plana:
Volta: AC e BD são perpendiculares
- NM paralelo a AC já que é base média de ACD: [tex3]<NIP = <AGB = 90^o[/tex3]
- NIFB é cíclico já que [tex3]<NIB=<NFB [/tex3] , portanto [tex3]<INF = <IBF [/tex3]
- Mas AC é paralelo a MN, então [tex3]<MNH=<AHN [/tex3]
- Sendo assim, [tex3]<GPH = <GPF = <BPF [/tex3] , B,G e P são colineares.
Última edição: Ittalo25 (Ter 12 Jan, 2021 18:02). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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