Olimpíadas ⇒ OBM 2010 - Problema 4 Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja ABCD um quadrilátero convexo e M e N os pontos médios dos lados CD e AD, respectivamente. As retas perpendiculares a AB passando por M e a BC passando por N cortam-se no ponto P. Prove que P pertence à diagonal BD se, e somente se, as diagonais AC e BD são perpendiculares.

[Ittalo25]

lqas.png (75.26 KiB) Exibido 1463 vezes

estranho

[goncalves3718]

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[NigrumCibum]

Essa questão deve ser reescrita.
Prove que se AC é perpendicular a BD então P pertence a BD.

20210112_145750.jpg (30.8 KiB) Exibido 1414 vezes

[NigrumCibum]

A solução pode ser encontrada na revista eureka de 2011 n°34 e página 53
OBM-https://www.obm.org.br/revista-eureka/
Na verdade o enunciado está correto.

[Ittalo25]

A ida nem sempre é verdade, conforme o geogebra mostrou e está provado na Eureka.
A volta é sempre verdade, mas como a resolução da Eureka está por geometria analítica, vou demonstrar por geometria plana:

ee.png (99.04 KiB) Exibido 1373 vezes

Volta: AC e BD são perpendiculares

- NM paralelo a AC já que é base média de ACD: [tex3]<NIP = <AGB = 90^o[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<NIP = <AGB = 90^o[/tex3]

- NIFB é cíclico já que [tex3]<NIB=<NFB [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<NIB=<NFB [/tex3]

, portanto [tex3]<INF = <IBF [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<INF = <IBF [/tex3]

- Mas AC é paralelo a MN, então [tex3]<MNH=<AHN [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<MNH=<AHN [/tex3]

- Sendo assim, [tex3]<GPH = <GPF = <BPF [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<GPH = <GPF = <BPF [/tex3]

, B,G e P são colineares.