Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
[tex3]ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr[/tex3]
, sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o semiperímetro.
[tex3]\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\
\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\
\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}[/tex3]
Identidade Fundamental:
[tex3]\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}=\frac{R+r}{R}[/tex3]
Demonstração:
viewtopic.php?f=3&t=67107
Portanto:
[tex3]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}+\frac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(b+c)^{2}-a^{2}-2bc}{2bc}+\frac{(a+c)^{2}-b^{2}-2ac}{2ac}+\frac{(a+b)^{2}-c^{2}-2ab}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{2ab+2ac+2bc-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{4ab+4ac+4bc-(a+b+c)^{2}}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\
\frac{abc}{4Rr}.4.\frac{(ab+ac+bc-p^{2})}{abc}-3=\frac{R+r}{R}\\
ab+ac+bc-p^{2}-3r=Rr+r^{2}\\
\boxed{ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo
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14:56
Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo
Editado pela última vez por MatheusBorges em 30 Nov 2018, 17:45, em um total de 7 vezes.
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
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Dez 2020
25
09:25
Re: Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo
aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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