Ensino Superior ⇒ Estatística - Probabilidade Binomial ou Poisson? Tópico resolvido

[jpalves8]

Supõe-se que exista uma impureza em 10% dos poços de certa comunidade rural. Quarenta poços foram escolhidos aleatoriamente para ser testados. Qual é a probabilidade de que mais de três poços apresentem impurezas?

Responda:

a) Para este problema, é mais indicado usar distribuição Binomial? Ou Poisson? Justifique sua resposta.

b) Indiferentemente da resposta anterior, faça pelos dois métodos. Apresente a memória de cálculo e utilize 4 casas decimais.

[Cardoso1979]

Observe

Eu não tenho costume de resolver questões acompanhadas de letras , pense no seguinte , imagine só uma questão com perguntas a) , b) , c) , d) , e) , f) . . . z) ?? Além de cansativas, o sistema fica muito pesado ( a resposta ) e longa demais, ainda tem a questão de ser muito chato digitar isso! Porém, irei quebrar o seu galho ou de outro usuário que venha precisar futuramente desta questão.

Solução:

a) Poisson é a mais indicada para o problema, pois quando n é maior que 30 dados e a proporção ( p ) tende a zero calculamos a taxa média ( [tex3]\lambda [/tex3]

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[tex3]\lambda [/tex3]

) = n.p.


b) Cálculo para a distribuição binomial :

p = 10% = [tex3]\frac{10}{100} = 0,10[/tex3]

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[tex3]\frac{10}{100} = 0,10[/tex3]

;

q = 1 - p = 1 - 0,10 = 0,90 ;

x maior que 3 = x > 3 ( não entra o três ) ;

n = 40

[tex3]P(X=x)=\begin{pmatrix}
n \\
x \\
\end{pmatrix}.p^x.(1-p)^{n-x}[/tex3]

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[tex3]P(X=x)=\begin{pmatrix}
n \\
x \\
\end{pmatrix}.p^x.(1-p)^{n-x}[/tex3]

;

P( X > 3 ) = 1 - ( P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) )

Assim,

[tex3]P(0)=\begin{pmatrix}
40 \\
0 \\
\end{pmatrix}.(0,10)^0.(0,90)^{40-0} = 0,0148[/tex3]

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[tex3]P(0)=\begin{pmatrix}
40 \\
0 \\
\end{pmatrix}.(0,10)^0.(0,90)^{40-0} = 0,0148[/tex3]

;


[tex3]P(1)=\begin{pmatrix}
40 \\
1 \\
\end{pmatrix}.(0,10)^1.(0,90)^{40-1} = 0,0657[/tex3]

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[tex3]P(1)=\begin{pmatrix}
40 \\
1 \\
\end{pmatrix}.(0,10)^1.(0,90)^{40-1} = 0,0657[/tex3]

;


[tex3]P(2)=\begin{pmatrix}
40 \\
2 \\
\end{pmatrix}.(0,10)^2.(0,90)^{40-2} = 0,1423[/tex3]

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[tex3]P(2)=\begin{pmatrix}
40 \\
2 \\
\end{pmatrix}.(0,10)^2.(0,90)^{40-2} = 0,1423[/tex3]

.

Portanto,

P( X > 3 ) = 1 - ( P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) )

P( X > 3 ) = 1 - ( 0,0148 + 0,0657 + 0,1423 )

P( X > 3 ) = 0,7772 ou P( X > 3 ) = 77,72%



Cálculo para a distribuição Poisson:

p = 10% = [tex3]\frac{10}{100} = 0,10[/tex3]

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[tex3]\frac{10}{100} = 0,10[/tex3]

;

x maior que 3 = x > 3 ( não entra o três ) ;

n = 40;

[tex3]\lambda =n.p = 40×0,10=4[/tex3]

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[tex3]\lambda =n.p = 40×0,10=4[/tex3]

;

[tex3]P(X=x)=\frac{e^{-\lambda }.\lambda ^x }{x!}[/tex3]

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[tex3]P(X=x)=\frac{e^{-\lambda }.\lambda ^x }{x!}[/tex3]

;

P( X > 3 ) = 1 - ( P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) ).

Assim,

[tex3]P(0)=\frac{e^{-4 }×4^0 }{0!} = 0,0183[/tex3]

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[tex3]P(0)=\frac{e^{-4 }×4^0 }{0!} = 0,0183[/tex3]

;

[tex3]P(1)=\frac{e^{-4 }×4^1 }{1!} = 0,0733[/tex3]

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[tex3]P(1)=\frac{e^{-4 }×4^1 }{1!} = 0,0733[/tex3]

;

[tex3]P(2)=\frac{e^{-4 }×4^2 }{2!} = 0,1465[/tex3]

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[tex3]P(2)=\frac{e^{-4 }×4^2 }{2!} = 0,1465[/tex3]

;

Portanto,

P( X > 3 ) = 1 - ( P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) )

P( X > 3 ) = 1 - ( 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 )

P( X > 3 ) = 0,7619 ou P( X > 3 ) = 76,19%


Nota

Mais uma questão sem gabarito, sem fonte e sem alternativas ( caso seja de concurso )!!!!! Affffffffffff!




Excelente estudo!