Bom dia amigos!!!
Gostaria de pedir vossa ajuda nessa questão por favor
Obrigado desde já
Atenciosamente.
Calcule a integral de linha [tex3]\int\limits_{C}(x^3 y)ds[/tex3]
, onde [tex3]c[/tex3]
é o arco da circunferência: [tex3]x^2+y^2=4[/tex3]
no primeiro quadrante.
Utilize a calculadora no modo radianos e apresente a resolução passo a passo, até a resposta final.
Ensino Superior ⇒ (Cálculo 3) Integral de Linha Tópico resolvido
Set 2020
04
11:21
(Cálculo 3) Integral de Linha
Editado pela última vez por caju em 04 Set 2020, 11:37, em um total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
- Cardoso1979
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Nov 2020
23
16:50
Re: (Cálculo 3) Integral de Linha
Olá! Cadê o gabarito ?? A Fonte ?? Ou as alternativas??? Aparentemente você extraiu esta questão de um livro!!!!
- Cardoso1979
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Nov 2020
27
18:38
Re: (Cálculo 3) Integral de Linha
Observe
Esse não respondeu nada!!! Vai uma solução aqui.
Solução:
As equações paramétricas para C são : x = 2cos(t) , y = 2cos(t) , 0 ≤ t ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] ( pois C é o arco da circunferência x² + y² = 4 no primeiro quadrante ). Assim,
[tex3]\int\limits_{C}^{}x^3y \ ds = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[2cos(t)]^3.2sen(t).\sqrt{[-2sen(t)]^2+[2cos(t)]^2}dt[/tex3]
[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t)\sqrt{4.[cos^2(t)+sen^2(t)]}dt[/tex3]
[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t).2 \ dt[/tex3]
[tex3]= 32.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t) \ dt[/tex3]
Obs.1 Para resolver a integral acima , basta utilizar a substituição u = cos (t) → du = - sen(t) dt.
Resulta que,
[tex3]-\frac{32}{4}.\left[cos^4(t)\right]^{\frac{π}{2}}_{0}= - 8.(0-1)=8[/tex3]
Portanto, o valor da integral de linha dada vale 8.
Obs. 2
Para x = 2cos(t), temos
[tex3]\frac{dx}{dt} = -2sen(t)[/tex3] .
Para y = 2sen(t), temos
[tex3]\frac{dy}{dt} = 2cos(t)[/tex3] .
Obs.3
[tex3]\int\limits_{C}^{}f(x,y) \ ds = \int\limits_{a}^{b}f(x(t),y(t)).\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt[/tex3]
Obs. 4
[tex3]\frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}[/tex3]
Nota
Continuo a bater forte na campanha poste o gabarito, fonte ou alternativas!
Excelente estudo!
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Esse não respondeu nada!!! Vai uma solução aqui.
Solução:
As equações paramétricas para C são : x = 2cos(t) , y = 2cos(t) , 0 ≤ t ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3] ( pois C é o arco da circunferência x² + y² = 4 no primeiro quadrante ). Assim,
[tex3]\int\limits_{C}^{}x^3y \ ds = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[2cos(t)]^3.2sen(t).\sqrt{[-2sen(t)]^2+[2cos(t)]^2}dt[/tex3]
[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t)\sqrt{4.[cos^2(t)+sen^2(t)]}dt[/tex3]
[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t).2 \ dt[/tex3]
[tex3]= 32.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t) \ dt[/tex3]
Obs.1 Para resolver a integral acima , basta utilizar a substituição u = cos (t) → du = - sen(t) dt.
Resulta que,
[tex3]-\frac{32}{4}.\left[cos^4(t)\right]^{\frac{π}{2}}_{0}= - 8.(0-1)=8[/tex3]
Portanto, o valor da integral de linha dada vale 8.
Obs. 2
Para x = 2cos(t), temos
[tex3]\frac{dx}{dt} = -2sen(t)[/tex3] .
Para y = 2sen(t), temos
[tex3]\frac{dy}{dt} = 2cos(t)[/tex3] .
Obs.3
[tex3]\int\limits_{C}^{}f(x,y) \ ds = \int\limits_{a}^{b}f(x(t),y(t)).\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt[/tex3]
Obs. 4
[tex3]\frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}[/tex3]
Nota
Continuo a bater forte na campanha poste o gabarito, fonte ou alternativas!
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Nov 2020
28
23:58
Re: (Cálculo 3) Integral de Linha
Correção:Cardoso1979 escreveu: ↑27 Nov 2020, 18:38 As equações paramétricas para C são : x = 2cos(t) , y = 2cos(t) , 0 ≤ t ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]
O correto é y = 2sen(t).
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