Olimpíadas ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[NigrumCibum]

Seja [tex3]\triangle ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle ABC[/tex3]

um triângulo actuângulo. K e L são as intersecções da altura traçada desde B com o círculo de diâmetro AC, com K mais próximo de B do que L. Analogamente, X e Y são as intersecções da altura traçada desde C com o círculo de diâmetro AB, com X mais próximo de C do que Y. Prove que a intersecção de XL e KY encontra-se em BC.

O que eu quero saber é: Se eu provar que K, X, L e Y são cocíclicos isso pode ser demonstrado? Ou há algo mais que eu deveria adicionar à demonstração?

Resposta

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Demonstração

[Ittalo25]

br.png (122.13 KiB) Exibido 907 vezes

Resposta

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Provando que KXYL é cíclico e usando a semelhança em BXA~BEX:
[tex3]\frac{BX}{BA} = \frac{BE}{BX} \rightarrow BX^2 = BE \cdot BA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{BX}{BA} = \frac{BE}{BX} \rightarrow BX^2 = BE \cdot BA[/tex3]

E por potência de ponto [tex3]BE \cdot BA = BK \cdot BL [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BE \cdot BA = BK \cdot BL [/tex3]

Sendo assim BX e BY são tangentes à circunferência circunscrita ao quadrilátero KXYL
De modo análogo CL e CK são tangentes.
Daí basta aplicar o Demonstração - Teorema de Pascal no hexágono degenerado XXLYYK e então B,G e C são colineares.

[NigrumCibum]

Ittalo25, muito obrigado mesmo!!!!!

[FelipeMartin]

De fato, muito bom mesmo!