Ensino Médio ⇒ Aritmética Tópico resolvido

[NigrumCibum]

Se a e b são números primos positivos e c é um número inteiro positivo, encontre todos os pares a, b e c que satisfazem a equação [tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]

Resposta

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[tex3](a, b, c)=(19, 5, 360)[/tex3]

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[tex3](a, b, c)=(19, 5, 360)[/tex3]

[Ittalo25]

[tex3]a = 5[/tex3]

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[tex3]a = 5[/tex3]

não dá solução, então [tex3]mdc(a,5) = 1 [/tex3]

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[tex3]mdc(a,5) = 1 [/tex3]

Com isso dá para usar o pequeno teorema de fermat:

[tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]

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[tex3]a^4+52b^2-c^2=2021[/tex3]

[tex3]1+2b^2-c^2 \equiv 1 \mod(5)[/tex3]

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[tex3]1+2b^2-c^2 \equiv 1 \mod(5)[/tex3]

[tex3]2b^2 \equiv c^2 \mod(5)[/tex3]

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[tex3]2b^2 \equiv c^2 \mod(5)[/tex3]

Mas vamos ver os resíduos quadráticos do 5:
[tex3]\begin{cases}
b \equiv 0 \rightarrow b^2 \equiv 0 \mod(5) \\
b \equiv 1 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5) \\
b \equiv 2 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 3 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 4 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
b \equiv 0 \rightarrow b^2 \equiv 0 \mod(5) \\
b \equiv 1 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5) \\
b \equiv 2 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 3 \rightarrow b^2 \equiv 4 \mod(5) \\
b \equiv 4 \rightarrow b^2 \equiv 1 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

Ou seja:
[tex3]\begin{cases}
2 \cdot 0 \equiv 0 \mod(5) \\
2\cdot 1 \equiv 2 \mod(5) \\
2\cdot 4 \equiv 3 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
2 \cdot 0 \equiv 0 \mod(5) \\
2\cdot 1 \equiv 2 \mod(5) \\
2\cdot 4 \equiv 3 \mod(5)
\end{cases}[/tex3]

O único jeito de encaixar é [tex3]2b^2 \equiv 0 \mod(5) [/tex3]

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[tex3]2b^2 \equiv 0 \mod(5) [/tex3]

Aí como b é primo, [tex3]b=5 [/tex3]

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[tex3]b=5 [/tex3]

Aí fica:
[tex3]a^4 - c^2 = (a^2-c) \cdot (a^2+c) = 721 = 7 \cdot 103 [/tex3]

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[tex3]a^4 - c^2 = (a^2-c) \cdot (a^2+c) = 721 = 7 \cdot 103 [/tex3]

E dá para encontrar os valores de a e c.

[NigrumCibum]

Ittalo25, obrigado.

[Si2]

mas isso eh ensino médio? estou com medo agora de isso cair no meu vestibular

[FelipeMartin]

isso não cairá no santíssimo vestibular

[NigrumCibum]

Si2, acho que equações diofantinas são ensinadas no 9° ano dependendo da escola. Mas equações diofantinas não lineares já estão mais chegadas a olimpíadas aqui no Brasil.