Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Área hachurada. Tópico resolvido

[geobson]

Calcule a área sombreada . se: S_ABC= 15.

Resposta

---

1

[NigrumCibum]

1607288324801.jpg (43.73 KiB) Exibido 1196 vezes

Seja [tex3]h_v[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h_v[/tex3]

a altura vermelha, [tex3]h_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h_a[/tex3]

a altura azul e [tex3]h_r [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h_r [/tex3]

a altura roxa. Por semelhança [tex3]h_a=\frac{2}{3}h_r.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h_a=\frac{2}{3}h_r.[/tex3]

Temos: [tex3]S_{\triangle ABC}=\frac{h_v×3y}{2}=\frac{h_r×3x}{2}⇒h_v×y=h_r×x=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{\triangle ABC}=\frac{h_v×3y}{2}=\frac{h_r×3x}{2}⇒h_v×y=h_r×x=10[/tex3]

, [tex3]S_{\triangle APQ}=S_{\triangle ABP}=\frac{h_v×y}{2}=5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{\triangle APQ}=S_{\triangle ABP}=\frac{h_v×y}{2}=5[/tex3]

, [tex3]S_{\triangle ABQ}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{\triangle ABQ}=10[/tex3]

, [tex3]S_{\triangle AQN}=\frac{2x×\frac{2}{3}h_r}{2}=\frac{2}{3}h_r×x=\frac{20}{3}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{\triangle AQN}=\frac{2x×\frac{2}{3}h_r}{2}=\frac{2}{3}h_r×x=\frac{20}{3}.[/tex3]

Pelo "ladder theorem", temos: [tex3]\frac{1}{S_{\triangle ABQ}}+\frac{1}{S_{\triangle AOQ}}=\frac{1}{S_{\triangle AOQ}+S_{\triangle ANO}}+\frac{1}{S_{\triangle AOQ}+S_{\triangle POQ} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{S_{\triangle ABQ}}+\frac{1}{S_{\triangle AOQ}}=\frac{1}{S_{\triangle AOQ}+S_{\triangle ANO}}+\frac{1}{S_{\triangle AOQ}+S_{\triangle POQ} }[/tex3]

[tex3]⇒\frac{1}{10}+\frac{1}{S_{\triangle AOQ}}=\frac{1}{\frac{20}{3}}+\frac{1}{5}⇒S_{\triangle AOQ}=4.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]⇒\frac{1}{10}+\frac{1}{S_{\triangle AOQ}}=\frac{1}{\frac{20}{3}}+\frac{1}{5}⇒S_{\triangle AOQ}=4.[/tex3]

Portanto [tex3]S_{\triangle POQ}=S_{\triangle APQ}-S_{\triangle AOQ}=5-4=1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{\triangle POQ}=S_{\triangle APQ}-S_{\triangle AOQ}=5-4=1.[/tex3]

[geobson]

NigrumCibum, obrigado.
Legal esse teorema . preciso conhecer.