Prove que
[tex3]1+2w+3w^2+4w^3+...+nw^{n-1}=-n/(1-w)[/tex3]
onde w é uma enésima raíz da unidade, diferente de 1.
Ensino Médio ⇒ (Rufino) Números complexos Tópico resolvido
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Out 2020
20
22:57
Re: (Rufino) Números complexos
Olá:
Considere [tex3]x^n=1[/tex3] o polinomio de grau n cujo raizes são da forma [tex3]w=cis(\frac{2k\pi}{n})[/tex3] p/ k = 0 até k = n-1 (2 lei de moivre)
Perceba que por girrard a soma das raizes é zero , ou seja [tex3]1+w+w^2+w^3+...+w^{n-1}=0[/tex3]
Chama essa expressão de S e multiplica por w:
[tex3]Sw=w+2w^2+3w^3+4w^4+...+nw^{n}[/tex3]
[tex3]S-Sw=1+w+w^2+w^3+...+w^{n-1}-nw^n=0-nw^n[/tex3]
[tex3]S(1-w)=-nw^n\rightarrow S=\frac{-nw^n}{1-w}[/tex3]
Como w é raiz do polinimio , temos que [tex3]w^{n}=1[/tex3]
Logo:
[tex3]S=\frac{-n}{1-w}[/tex3]
Considere [tex3]x^n=1[/tex3] o polinomio de grau n cujo raizes são da forma [tex3]w=cis(\frac{2k\pi}{n})[/tex3] p/ k = 0 até k = n-1 (2 lei de moivre)
Perceba que por girrard a soma das raizes é zero , ou seja [tex3]1+w+w^2+w^3+...+w^{n-1}=0[/tex3]
Chama essa expressão de S e multiplica por w:
[tex3]Sw=w+2w^2+3w^3+4w^4+...+nw^{n}[/tex3]
[tex3]S-Sw=1+w+w^2+w^3+...+w^{n-1}-nw^n=0-nw^n[/tex3]
[tex3]S(1-w)=-nw^n\rightarrow S=\frac{-nw^n}{1-w}[/tex3]
Como w é raiz do polinimio , temos que [tex3]w^{n}=1[/tex3]
Logo:
[tex3]S=\frac{-n}{1-w}[/tex3]
Editado pela última vez por A13235378 em 20 Out 2020, 22:59, em um total de 1 vez.
"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton
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