Maratonas de Matemátical Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2156
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 03-12-20
Set 2020 24 23:03

l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números..
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números, álgebra, geometria e combinatória. A intenção é criar uma maratona para cada área ao longo do tempo.

As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.

1) O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva de alguma olimpíada.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui http://www.tutorbrasil.com.br/forum/tutorial_tex.php.
4) Todas questão deverão ser de olímpiadas, contendo o ano e o país de aplicação.
5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o fórum Olímpiadas, disponibilizando para que seja postada uma nova.
7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
8 ) Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.

**Veja como devemos proceder.**

Problema 1
(Questão acompanhado do país e do ano)Escreva a questão

Quem for resolver deverá escrever:
Solução do Problema 1

Descrever a solução

Problema 2
(Questão acompanhado do país e do ano) Escreva a questão.

------------------------------------------------------------------------------

Problema 1
(Estados Unidos 1973) Sejam p,q e r primos distintos, prove que [tex3]\sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q}[/tex3] e [tex3]\sqrt[3]{r}[/tex3] não podem ser termos de uma progressão aritmética.

Última edição: caju (Qui 24 Set, 2020 23:23). Total de 2 vezes.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2156
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 03-12-20
Set 2020 27 00:32

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Questão movida conforme a regra 6: Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números

------------------------------------------------------------------------------

Problema 2
(Hong Kong 1990)
O número de 6 dígitos [tex3]a1989b [/tex3] é divisível por 72. Determine [tex3]a [/tex3] e [tex3]b [/tex3] .



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

goncalves3718
2 - Nerd
Mensagens: 589
Registrado em: Qui 26 Dez, 2019 15:26
Última visita: 24-11-20
Set 2020 27 15:30

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Solução do Problema 2

Como [tex3]72 = 8 \cdot 9[/tex3] , o número de 6 dígitos [tex3]a1989b[/tex3] deve ser divisível por [tex3]8[/tex3] e por [tex3]9[/tex3] ao mesmo tempo.
Para ser divisível por [tex3]8[/tex3] , [tex3]89b[/tex3] deve ser divisível por [tex3]8[/tex3] e isso só acontece com [tex3]b=6[/tex3] .

Temos então:

[tex3]a19896[/tex3]

Agora temos que satisfazer o critério de divisibilidade por [tex3]9[/tex3] , logo:

[tex3]a+1+9+8+9+6 = 9k \,, k \in \mathbb{N} \implies a + 33 = 9k [/tex3]

O único valor que torna a igualdade satisfeita é [tex3]a= 3[/tex3] .
Portanto [tex3]a=3[/tex3] e [tex3]b=6[/tex3] .

Problema 3

(Austrália 2006) Encontre todos os inteiros positivos [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]1+5^m = n^2[/tex3]



Avatar do usuário
AnthonyC
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 602
Registrado em: Sex 09 Fev, 2018 19:43
Última visita: 10-11-20
Set 2020 27 19:06

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por AnthonyC »

Solução do Problema 3

[tex3]1+5^m=n^2[/tex3]

Primeiramente, demonstrarei o seguinte lema:
Lema 1: Toda potência de [tex3]5[/tex3] maior que 1 pode ser escrita da forma [tex3]20k+5, ~~~ k\in\mathbb{Z}_+[/tex3]
Demonstração:

Utilizando indução, temos:
  • Caso inicial: [tex3]m=1[/tex3]
[tex3]5^1=20k+5[/tex3]
Tomando [tex3]k=0[/tex3] :
[tex3]5=5[/tex3]
Assim, o caso inicial satisfaz.
  • Hipótese de indução: seja a afirmação verdadeira para [tex3]m=p[/tex3]
[tex3]5^p=20k+5[/tex3]
[tex3]5^p\cdot5=(20k+5)\cdot5[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=100 k+25[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=100 k+20+5[/tex3]
[tex3]5^{p+1}=20(5k+1)+5[/tex3]
Fazendo [tex3]5k+1=k'[/tex3] :
[tex3]5^{p+1}=20k'+5[/tex3]

Como o caso [tex3]m=p[/tex3] verdadeiro implica [tex3]m=p+1[/tex3] verdadeiro, munido com o caso inicial, provamos o lema.

Substituindo esse resultado na equação original:
[tex3]1+5^m=n^2[/tex3]
[tex3]1+20k+5=n^2[/tex3]
[tex3]6+20k=n^2[/tex3]

Vamos reduzir a equação módulo 4:
[tex3]6+20k\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]6\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]
[tex3]2\equiv n^2(\mod 4)[/tex3]

Como [tex3]n\in\mathbb{Z}_+^*[/tex3] , então este é par ou ímpar. Estudando cada caso:
  • Se [tex3]n[/tex3] for par:
    Podemos então escrever [tex3]n=2q,~~~~q\in\mathbb{Z}_+^*[/tex3] . Logo:
    [tex3]2\equiv (2q)^2(\mod 4)[/tex3]
    [tex3]2\equiv 4q^2(\mod 4)[/tex3]
    [tex3]2\equiv 0(\mod 4)[/tex3]
    Então não temos solução neste caso.
  • Se [tex3]n[/tex3] for ímpar:
    Podemos então escrever [tex3]n=2r+1,~~~~r\in\mathbb{Z}_+[/tex3] . Logo:
    [tex3]2\equiv (2r+1)^2(\mod 4)[/tex3]
    [tex3]2\equiv 4r^2+4r+1(\mod 4)[/tex3]
    [tex3]2\equiv 1(\mod 4)[/tex3]
    Então não temos solução neste caso.
Como ambas as possibilidades para [tex3]n[/tex3] não satisfazem a condição, então não existem inteiros positivos que satisfaçam a equação original.

Problema 4
(Turquia-2009) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] tal que [tex3]p^3-4p+9[/tex3] é um quadrado perfeito.
Última edição: AnthonyC (Dom 27 Set, 2020 19:15). Total de 1 vez.


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2156
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 03-12-20
Set 2020 28 00:36

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do Problema 4

Se [tex3]p^3-4p+9=x^2[/tex3] , então [tex3]x^2 \equiv 9 \mod(p) [/tex3] , ou seja: [tex3]x = kp\pm 3[/tex3]

[tex3]p^3-4p+9=(kp\pm3)^2[/tex3]
[tex3]p^2-k^2p= \pm 6k+4[/tex3]
[tex3]p| \pm 6k+4[/tex3]
[tex3]p = 2 [/tex3] é solução óbvia, então supondo p ímpar:
[tex3]p| \pm 3k+2[/tex3]
[tex3]p \leq 3k+2[/tex3]
[tex3]\frac{p-2}{3} \leq k[/tex3]

de [tex3]x = kp\pm 3[/tex3] tem-se que [tex3]x \geq kp-3[/tex3]

Ou seja: [tex3]x \geq kp-3 \geq \frac{p\cdot (p-2)}{3}-3[/tex3]
[tex3]x \geq \frac{p^2-2p-9 }{3}[/tex3]
[tex3]p^3-4p+9 \geq \frac{(p^2-2p-9)^2 }{9}[/tex3]
[tex3](p-2) \cdot p \cdot (p^2-11p-36) \leq 0[/tex3]
Como p>2, então:
[tex3]p^2-11p-36 \leq 0[/tex3]
[tex3]p \leq 13[/tex3]

Testando esses poucos casos tem-se que [tex3]p \in \{2,7,11\}[/tex3]

------------------------------------------------------------------------------

Problema 5
(Argentina 1997) Designando x e y por dígitos, achar todos os números naturais de cinco dígitos [tex3]65x1y[/tex3] que são múltiplos de 12.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Deleted User 25200
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Set 2020 28 14:17

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Deleted User 25200 »

Solução do Problema 5

Lema: Se [tex3]c|(a+b)[/tex3] e [tex3]c|a[/tex3] , então [tex3]c|b[/tex3] .

[tex3]12|65x1y[/tex3] , ou seja, [tex3]4|65x1y[/tex3] e [tex3]3|65x1y[/tex3] .

[tex3]65x1y=6.10000+5.1000+x.100+(10+y)\rightarrow 100.(6.100+5.10+x)+(10+y)[/tex3]

Como [tex3]4|100.(6.100+5.10+x)[/tex3] , necessariamente, [tex3]4|(10+y)[/tex3]

[tex3]y=(2,6)[/tex3]

E [tex3]3|(12+x+y)[/tex3]

Para [tex3]y=2[/tex3] , [tex3]3|(14+x)\rightarrow x=(1,4,7)[/tex3] . Se [tex3]y=6[/tex3] , [tex3]3|(18+x)\rightarrow x=(0,3,6,9)[/tex3]

Então os números são: [tex3]65112,65412,65712,65016,65316,65616,65916[/tex3]
Problema 6

(Argentina 2016) Seja abcd um dos 9999 números 0001, 0002, 0003, ..., 9998, 9999. Dizemos que abcd é especial se ab−cd e ab+cd são quadrados perfeitos, ab−cd divide ab+cd, e além disso ab+cd divide abcd. Por exemplo, 2016 é especial. Encontrar todos os números abcd especiais.
Nota: Se abcd = 0206 então ab = 02 e cd = 06.
Última edição: Deleted User 25200 (Seg 28 Set, 2020 14:26). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2156
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 03-12-20
Set 2020 28 19:18

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do Problema 6

[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} = 10a+b+10c+d = y^2 \space \space \space \space (I) \\
\overline{ab}-\overline{cd} = 10a+b-10c-d = x^2 \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]

Agora, se [tex3]x^{2}[/tex3] divide [tex3]y^{2}[/tex3] e [tex3]y^{2}[/tex3] divide [tex3]\overline{abcd}[/tex3] , então:
[tex3]x^2 | 1000a+100b+10c+d [/tex3]
[tex3]x^2 | 1000a+100b+10c+d +x^2 [/tex3]
[tex3]x^2 | 1010a+101b [/tex3]
[tex3]x^2 | 10a+b [/tex3]
Por consequência também: [tex3]x^2 | 10c+d [/tex3] , fazendo [tex3]10a+b = kx^2 [/tex3] e [tex3]10c+d = qx^2 [/tex3] , temos que:
[tex3]10a+b-10c-d = x^2 [/tex3]
[tex3]kx^2-qx^2 = x^2 [/tex3]
[tex3]\boxed{ k= q+1} [/tex3]

Fazendo: [tex3](I)+(II) [/tex3]
[tex3]2\cdot (10a+b) = x^2+y^2 [/tex3]
[tex3]2kx^2 = x^2+y^2 [/tex3]
[tex3]x^2 \cdot (2k-1) =y^2 [/tex3]
Ou seja, [tex3]y^2 \in \{x^2,9x^2,25x^2,49x^2,81x^2,....\}[/tex3]

1° caso: [tex3]y^2 = x^2 [/tex3]
[tex3] 10a+b+10c+d = y^2[/tex3]
[tex3] kx^2+qx^2 = x^2[/tex3]
[tex3] q = 0\rightarrow c = 0\rightarrow d = 0[/tex3]
[tex3] k = 1\rightarrow 10a+b = x^2 = y^2[/tex3]
Então as soluções nesse caso são: [tex3]\boxed{\{0100, 0400,0900,1600,2500,3600,4900,6400,8100\}} [/tex3]

2° caso: [tex3]y^2 = 9x^2 [/tex3]
[tex3] kx^2+qx^2 = 9x^2[/tex3]
[tex3] q = 4[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10a+b=5x^2 \\
10c+d=4x^2
\end{cases}[/tex3]
Fácil ver que o x só vai até 4.
As soluções nesse caso são: [tex3]\boxed{\{0504, 2016,4536,8064\}} [/tex3]

A partir daqui nenhum [tex3]y^2 \in \{25x^2,49x^2,81x^2,....\}[/tex3] serve. Como são apenas números de 4 dígitos, essa lista pode ser testada manualmente.

------------------------------------------------------------------------------

Problema 7
(Noruega-1997) Se adicionarmos 329 ao número de três dígitos [tex3]\overline{2x4}[/tex3] obtemos [tex3]\overline{5y3}[/tex3] . Se [tex3]\overline{5y3}[/tex3] é divisível por três, qual o maior valor possível para x?


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Avatar do usuário
Babi123
2 - Nerd
Mensagens: 1107
Registrado em: Sex 28 Jul, 2017 21:05
Última visita: 01-12-20
Set 2020 28 21:14

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Babi123 »

Solução do Problema 7
[tex3](2\cdot100+10x+4)+329=5\cdot100+10y+3\\
30+10x=10y\\
\boxed{x=y-3} \ (I)[/tex3]

[tex3]3 | \overline{5y3}\implies y\in \{1,4,7\}[/tex3]
Logo, o maior valor possível para [tex3]x[/tex3] ocorre quando [tex3]y=7[/tex3] em [tex3](I)[/tex3] , ou seja:
[tex3]x=7-3\\
\boxed{x=4}[/tex3]

------------------------------------------------------------------------------------

Problema 8
(Brasil - 2003)
Determine o menor número primo positivo que divide [tex3]x^2+ 5x + 23[/tex3] para algum inteiro [tex3]x[/tex3] .
Última edição: Babi123 (Seg 28 Set, 2020 21:25). Total de 3 vezes.



Avatar do usuário
AnthonyC
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 602
Registrado em: Sex 09 Fev, 2018 19:43
Última visita: 10-11-20
Set 2020 28 23:36

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por AnthonyC »

Solução do Problema 8

Podemos ver que se [tex3]x=23[/tex3] , temos:
[tex3]23^2+5\cdot23+23[/tex3]
Assim, [tex3]23|x^2+5x+23[/tex3]
Como 23 é primo, então temos um primo que divide nossa equação para algum [tex3]x[/tex3] . Para garantirmos que este é o menor primo, basta checar os primos menores, [tex3]\{2,3,5,7,11,13,17,19\}[/tex3] .

Podemos também ver que se [tex3]x=-2\implies (-2)^2+5\cdot(-2)+23=17[/tex3] . Então 17 é o menor candidato até agora. Analisando os outros:
  • [tex3]p=2[/tex3] não serve, pois [tex3]x^2+5x[/tex3] é sempre par, somado com 23 será sempre ímpar, sendo assim, não divisível por 2;
  • [tex3]p=3[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 0(\mod3)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv2(\mod 3)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 1(\mod3)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv2(\mod 3)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 2(\mod3)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv1(\mod 3)[/tex3]
    Então, não existe nenhum número tal que a equação seja divisível por 3.
  • [tex3]p=5[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 0(\mod5)\implies 0^2+23\equiv3(\mod 5)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 1(\mod5)\implies 1^2+23\equiv4(\mod 5)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 2(\mod5)\implies 2^2+23\equiv2(\mod 5)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 3(\mod5)\implies 3^2+23\equiv2(\mod 5)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 4(\mod5)\implies 4^2+23\equiv4(\mod 5)[/tex3]
    Sem solução para 5.
  • [tex3]p=7[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 0(\mod7)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv2(\mod 7)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 1(\mod7)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv1(\mod 7)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 2(\mod7)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv2(\mod 7)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 3(\mod7)\implies 3^2+5\cdot3+23\equiv5(\mod 7)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 4(\mod7)\implies 4^2+5\cdot4+23\equiv3(\mod 7)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 5(\mod7)\implies 5^2+5\cdot5+23\equiv3(\mod 7)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 6(\mod7)\implies 6^2+5\cdot6+23\equiv5(\mod 7)[/tex3]
    Sem solução para 7.
  • [tex3]p=11[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 0(\mod11)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv1(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 1(\mod11)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv7(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 2(\mod11)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv4(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 3(\mod11)\implies 3^2+5\cdot3+23\equiv3(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 4(\mod11)\implies 4^2+5\cdot4+23\equiv4(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 5(\mod11)\implies 5^2+5\cdot5+23\equiv7(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 6(\mod11)\implies 6^2+5\cdot6+23\equiv1(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 7(\mod11)\implies 7^2+5\cdot7+23\equiv8(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 8(\mod11)\implies 8^2+5\cdot8+23\equiv6(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 9(\mod11)\implies 9^2+5\cdot9+23\equiv6(\mod 11)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 10(\mod11)\implies 10^2+5\cdot10+23\equiv8(\mod 11)[/tex3]
    Sem solução para 11.
  • [tex3]p=13[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 0(\mod13)\implies 0^2+5\cdot0+23\equiv10(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 1(\mod13)\implies 1^2+5\cdot1+23\equiv3(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 2(\mod13)\implies 2^2+5\cdot2+23\equiv11(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 3(\mod13)\implies 3^2+5\cdot3+23\equiv8(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 4(\mod13)\implies 4^2+5\cdot4+23\equiv7(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 5(\mod13)\implies 5^2+5\cdot5+23\equiv8(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 6(\mod13)\implies 6^2+5\cdot6+23\equiv11(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 7(\mod13)\implies 7^2+5\cdot7+23\equiv3(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 8(\mod13)\implies 8^2+5\cdot8+23\equiv10(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 9(\mod13)\implies 9^2+5\cdot9+23\equiv6(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 10(\mod13)\implies 10^2+5\cdot10+23\equiv4(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 11(\mod13)\implies 11^2+5\cdot11+23\equiv4(\mod 13)[/tex3]
    • Se [tex3]x\equiv 12(\mod13)\implies 13^2+5\cdot12+23\equiv6(\mod 13)[/tex3]
    Sem solução para 13.
Eliminados todos os casos menores, concluímos que o menor primo que divide a equação para algum [tex3]x[/tex3] é [tex3]17[/tex3] .


Problema 9
(Chile-2011)
Encontro todos os naturais [tex3]a,b,c[/tex3] , com [tex3]1\leq a\leq b\leq c[/tex3] , tal que [tex3]{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}={3\over 4}[/tex3] .


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2156
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 03-12-20
Set 2020 29 22:32

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do Problema 9

Se [tex3]a \geq 5 \rightarrow \frac{1}{a} \leq \frac{1}{5}[/tex3]
E portanto: [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{5} < \frac{3}{4}[/tex3]
Se [tex3]a = 1 [/tex3] , então [tex3]\frac{1}{a} =1 >\frac{3}{4}[/tex3]
Portanto [tex3]a\in \{2,3,4\}[/tex3]

1° caso: [tex3]a = 2 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 9 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq\frac{2}{9} < \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b \leq 4 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq\frac{2}{4} > \frac{1}{4}[/tex3]
Se [tex3]b = 5\rightarrow c = 20 [/tex3]
Se [tex3]b = 6\rightarrow c = 12 [/tex3]
Se [tex3]b = 7 [/tex3] não dá solução
Se [tex3]b = 8\rightarrow c = 8 [/tex3]

2° caso: [tex3]a = 3 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 12 [/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq\frac{2}{12} < \frac{5}{12}[/tex3]
Testando: se [tex3]b = 4\rightarrow c = 6[/tex3]
Testando: se [tex3]b = 3\rightarrow c = 12[/tex3]

3° caso: [tex3]a = 4 [/tex3]
[tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/tex3]
Se [tex3]b \geq 5[/tex3] então: [tex3]\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{2}{5} < \frac{1}{2}[/tex3]
Se [tex3]b = 4\rightarrow c = 4 [/tex3]
Se [tex3]b = 5[/tex3] não há solução.

Portanto as soluções são: [tex3]\boxed{ (a,b,c) = \{ (2,5,20),(2,6,12),(2,8,8),(3,4,6),(3,3,12),(4,4,4) } [/tex3]

Problema 10
(Vietnã - 1980) Determine todos os pares (x,y) de inteiros positivos tais que [tex3]\sqrt{x}+\sqrt{y} = 1980[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Maratonas de Matemática”