Pré-Vestibular ⇒ (UEPG PSS - 2017) Circuncentro Tópico resolvido

[eivitordias]

Assinale o que for correto.

08) O triângulo formado pelos pontos A(0,1), B(6,–2) e C(4,3) tem circuncentro no ponto [tex3]P(\frac{25}{8},\frac{-1}{4})[/tex3]

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[tex3]P(\frac{25}{8},\frac{-1}{4})[/tex3]

.

Resposta

---

CORRETO

[FelipeMartin]

tem dois jeitos de fazer o primeiro é fazer um sistema com a equação de um círculo que passe pelos três vértices A,B e C.

O segundo é fazer o encontro de duas mediatrizes do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

vou fazer a equação de uma mediatriz, a de [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

:
o ponto médio de [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

é:
[tex3]\frac{A+B}2 = (3,-\frac12)[/tex3]

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[tex3]\frac{A+B}2 = (3,-\frac12)[/tex3]

a equação da reta [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

é dada por :[tex3]y = -\frac12 x + 1[/tex3]

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[tex3]y = -\frac12 x + 1[/tex3]

logo [tex3]m = -\frac12[/tex3]

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[tex3]m = -\frac12[/tex3]

como a mediatriz é perpendicular a reta [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

devemos ter [tex3]m \cdot m' = -1 \iff (-\frac12)m' = -1 \iff m' =2[/tex3]

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[tex3]m \cdot m' = -1 \iff (-\frac12)m' = -1 \iff m' =2[/tex3]

.
Logo a equação da mediatriz é: [tex3]y + \frac12 = 2(x - 3) \iff 2y + 1 = 4x -12 \iff 2y - 4x +13=0[/tex3]

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[tex3]y + \frac12 = 2(x - 3) \iff 2y + 1 = 4x -12 \iff 2y - 4x +13=0[/tex3]

agora basta fazer a equação de outra mediatriz (seja de [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

ou [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

, tanto faz) e marcar o encontro com a mediatriz de cima que terá o circuncentro.

[A13235378]

Olá:

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Ortocentro = encontro das mediatrizes (considere o ponto O , mas esqueci de colocar)

Os pontos M, N ,P são os pontos medios dos lados.

Assim,

M = (3,-1/2)

N = (5, 1/2)

P= (2,2)


Coeficiente angular do lado AB = [tex3]\frac{1-(-2)}{0-6}=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1-(-2)}{0-6}=-\frac{1}{2}[/tex3]

Logo coeficiente angular da reta MO será:

-1/2 . m = -1

m = 2

Equaçao da reta MO:

[tex3]m=\frac{y-y_m}{x-x_m}=2[/tex3]

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[tex3]m=\frac{y-y_m}{x-x_m}=2[/tex3]

[tex3]\frac{y-(-1/2)}{x-3}=2[/tex3]

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[tex3]\frac{y-(-1/2)}{x-3}=2[/tex3]

2y-4x+13 = 0


Para a reta NO

Coeficiente angular da reta BC=

[tex3]\frac{3-(-2)}{4-6}=-\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{3-(-2)}{4-6}=-\frac{5}{2}[/tex3]

Coeficiente da reta NO:

-5/2 . m = -1

m = 2/5

Portanto:

[tex3]m=\frac{y-y_n}{x-x_n}[/tex3]

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[tex3]m=\frac{y-y_n}{x-x_n}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{5}=\frac{y-(1/2)}{x-5}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{5}=\frac{y-(1/2)}{x-5}[/tex3]

10y - 4x + 15 = 0


Encontrando a intersecção das duas retas (que representa o ponto O)


2y - 4x + 13 = 0
10y - 4x + 15 = 0

x = 25/8 e y = -1/4

[FelipeMartin]

A13235378, acho que você errou o final da equação da mediatriz de AB. Ela não passa pelo ponto M.

[eivitordias]

FelipeMartin e A13235378, os brabos da matemática!
A resolução foi para o Felipe por ter respondido antes, mas ambos me ajudaram muito!
Grato aos dois hehe