a) Se [tex3]n[/tex3]
é divisível por [tex3]8[/tex3]
e [tex3]n+1[/tex3]
por [tex3]25[/tex3]
, podemos dizer que:
[tex3]8|n \implies n = 8k , k\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]25|n+1 \implies n+1= 25q , q \in \mathbb{N}[/tex3]
Perceba que [tex3](n+1) - n =1[/tex3]
.
Logo:
[tex3]25q -8k = 1[/tex3]
Como [tex3]mdc(25,8) = 1[/tex3]
e [tex3]1|1[/tex3]
, a equação diofantina apresenta solução!
Por teoria sabe-se que descoberta uma solução particular [tex3](x_0,y_0)[/tex3]
da equação diofantina [tex3]ax+by = c[/tex3]
temos que a solução será da forma:
[tex3](x_0 +bt, y_0 - at), t \in \mathbb{Z}[/tex3]
Utilizando congruências para achar uma solução particular:
[tex3]1q - 0k \equiv 1\, (mod \,8) [/tex3]
[tex3]q \equiv 1 \, (mod \, 8)[/tex3]
Podemos ter então [tex3]q =1[/tex3]
, e nossa solução geral para [tex3]q[/tex3]
será [tex3]q = 1+8t \implies \boxed{\boxed{q = 8t +1}} [/tex3]
Se [tex3]q = -8t+1[/tex3]
, segue que:
[tex3]25(8t+1) -8k = 1 \implies 25 \cdot (8t) + 25 -8k = 1 \implies 8k = 25 \cdot (8t) +24 \implies \boxed{\boxed{k = 25t + 3}}[/tex3]
Como [tex3]n= 8k \implies n = 8(25t+3) \implies n = 200t + 24[/tex3]
e
[tex3]n+1 = 25q \implies n+1 = 25(8t+1) \implies n+1 = 200t +25 \implies n = 200t+24[/tex3]
O que é verdade, pois a igualdade ocorre.
b) Pelo mesmo raciocínio [tex3]21|n[/tex3]
e [tex3]165| n+1 [/tex3]
, então:
[tex3]n = 21k[/tex3]
e [tex3]n+1 = 165q[/tex3]
[tex3]165q - 21k = 1[/tex3]
Como [tex3]mdc(165,21) = 3[/tex3]
e [tex3]3[/tex3]
não divide [tex3]1[/tex3]
, essa equação diofantina
não tem solução!
