Olimpíadas ⇒ Algoritmo de Euclides Tópico resolvido
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goncalves3718
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Set 2020
21
20:14
Algoritmo de Euclides
Sejam [tex3]a_n = 100 + n^2[/tex3]
e [tex3]d_n = mdc(a_n , a_{n+1})[/tex3]
. Calcular [tex3]d_n[/tex3]
para todo [tex3]n[/tex3]
.
Editado pela última vez por goncalves3718 em 21 Set 2020, 20:41, em um total de 1 vez.
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Ittalo25
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Set 2020
21
21:23
Re: Algoritmo de Euclides
[tex3]d_n = mdc(a_n , a_{n+1})[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 100+(n+1)^2)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 100+n^2+2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 100+n^2+2n+1 - 100 - n^2)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 -100\cdot (2n+1), 2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(n^2-200n, 2n+1)[/tex3]
Como [tex3]mdc(n,2n+1) = 1 [/tex3] , então:
[tex3]d_n = mdc(n-200, 2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(n-200, 2n+1 - 2\cdot (n-200))[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(n-200, 401 )[/tex3]
Como 401 é primo, então: [tex3]d_n\in \{1,401\}[/tex3]
Aqui tem algo parecido: (Índia 97) MDC
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 100+(n+1)^2)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 100+n^2+2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 100+n^2+2n+1 - 100 - n^2)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 , 2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(100+n^2 -100\cdot (2n+1), 2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(n^2-200n, 2n+1)[/tex3]
Como [tex3]mdc(n,2n+1) = 1 [/tex3] , então:
[tex3]d_n = mdc(n-200, 2n+1)[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(n-200, 2n+1 - 2\cdot (n-200))[/tex3]
[tex3]d_n = mdc(n-200, 401 )[/tex3]
Como 401 é primo, então: [tex3]d_n\in \{1,401\}[/tex3]
Aqui tem algo parecido: (Índia 97) MDC
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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goncalves3718
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Set 2020
22
08:04
Re: Algoritmo de Euclides
O que você fez para chegar de [tex3]mdc(n²-200n,2n+1)[/tex3]
para [tex3]mdc(n-200,2n+1)[/tex3]
.
Nao entendi apenas essa parte!
Nao entendi apenas essa parte!
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Ittalo25
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Set 2020
22
15:32
Re: Algoritmo de Euclides
[tex3]mdc(n\cdot (n-200),2n+1)[/tex3]goncalves3718 escreveu: ↑22 Set 2020, 08:04 O que você fez para chegar de [tex3]mdc(n²-200n,2n+1)[/tex3] para [tex3]mdc(n-200,2n+1)[/tex3] .
Nao entendi apenas essa parte!
Só que [tex3]mdc(n,2n+1) = 1[/tex3] , veja:
[tex3]mdc(n,2n+1) [/tex3]
[tex3]mdc(n,2n+1-2n ) [/tex3]
[tex3]mdc(n,1 ) [/tex3]
[tex3]mdc(n,1 ) =1[/tex3]
Como eles são primos entre si, pode-se retirá-los do mdc:
[tex3]mdc(n\cdot (n-200),2n+1) = mdc(n-200,2n+1)[/tex3]
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goncalves3718
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