Ensino Médio ⇒ (Rufino) Sequência recorrente

[Deleted User 23699]

Uma sequência {an} de números reais é definida por:

[tex3]a_1=1,a_{n+1}=1+a_1.a_2.a_3...a_n,n\geq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_1=1,a_{n+1}=1+a_1.a_2.a_3...a_n,n\geq 1[/tex3]

Prove que: [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}=1[/tex3]

[A13235378]

Olá:

Tem certeza que essa digitação está certa?

O primeiro termo dessa sequência é 1 e todos os termos seguintes são positivos, então nao tem como a soma ser apenas 1

[Deleted User 23699]

No livro Elementos da Matemática VOL 3, pag 54, está exatamente assim. Tentei colocar no Wolfram, mas não consegui fazer o site entender a recorrência

A13235378

[FelipeMartin]

realmente [tex3]1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1[/tex3]

essa soma não pode ser

[FelipeMartin]

veja se funciona:
[tex3]a_{n+2} = 1 + a_1 \cdot a_2 \cdot... \cdot a_n \cdot a_{n+1} = 1 + (a_{n+1}-1)a_{n+1}[/tex3]

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[tex3]a_{n+2} = 1 + a_1 \cdot a_2 \cdot... \cdot a_n \cdot a_{n+1} = 1 + (a_{n+1}-1)a_{n+1}[/tex3]

[tex3]a_{n+2} = 1 + a_{n+1}(a_{n+1}-1) \iff a_{n+2} = 1 - a_{n+1} + a^2_{n+1}[/tex3]

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[tex3]a_{n+2} = 1 + a_{n+1}(a_{n+1}-1) \iff a_{n+2} = 1 - a_{n+1} + a^2_{n+1}[/tex3]

ou ainda:
[tex3]a_{n+1} = 1 - a_n + a^2_n[/tex3]

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[tex3]a_{n+1} = 1 - a_n + a^2_n[/tex3]

acho que assim dá pra trabalhar melhor, mas essa fórmula dá que [tex3]a_2 =1[/tex3]

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[tex3]a_2 =1[/tex3]

quando deveria ser [tex3]a_2 =2[/tex3]

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[tex3]a_2 =2[/tex3]

então acho que só vale para [tex3]n>2[/tex3]

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[tex3]n>2[/tex3]

, nesse caso: [tex3]a_3 = 1-2+4 =3[/tex3]

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[tex3]a_3 = 1-2+4 =3[/tex3]

funciona e [tex3]a_4 = 7[/tex3]

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[tex3]a_4 = 7[/tex3]

também funciona.

Então defina a sequência assim: [tex3]a_1=1,a_2=2[/tex3]

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[tex3]a_1=1,a_2=2[/tex3]

e [tex3]a_{n+1} = 1 - a_n +a_n^2[/tex3]

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[tex3]a_{n+1} = 1 - a_n +a_n^2[/tex3]

para [tex3]n >2[/tex3]

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[tex3]n >2[/tex3]

então a soma pedida é: [tex3]1 + \frac12 + \sum_{n>2}\frac1{a_n}[/tex3]

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[tex3]1 + \frac12 + \sum_{n>2}\frac1{a_n}[/tex3]

agora eu não sei como manipular essa soma, talvez seja até telescópica.
A soma parece convergir já que [tex3]a_n = \mathcal O(2^{2^n})[/tex3]

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[tex3]a_n = \mathcal O(2^{2^n})[/tex3]

[FelipeMartin]

aqui:
[tex3]a_{n+2} -1 = a_{n+1}(a_{n+1}-1) \iff \frac1{a_{n+2}-1} = \frac1{a_{n+1}-1} - \frac1{a_{n+1}}[/tex3]

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[tex3]a_{n+2} -1 = a_{n+1}(a_{n+1}-1) \iff \frac1{a_{n+2}-1} = \frac1{a_{n+1}-1} - \frac1{a_{n+1}}[/tex3]

logo
[tex3]\frac1{a_{n+1}} = \frac1{a_{n+1}-1} - \frac1{a_{n+2}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac1{a_{n+1}} = \frac1{a_{n+1}-1} - \frac1{a_{n+2}-1}[/tex3]

então
[tex3]\sum_{n=2}^m \frac1{a_{n+1}} = \frac1{a_3-1} - \frac1{a_{m+2}-1} [/tex3]

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[tex3]\sum_{n=2}^m \frac1{a_{n+1}} = \frac1{a_3-1} - \frac1{a_{m+2}-1} [/tex3]

portanto
[tex3]\sum_{n\geq2} \frac1{a_{n+1}} = \frac1{3-1} = \frac12[/tex3]

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[tex3]\sum_{n\geq2} \frac1{a_{n+1}} = \frac1{3-1} = \frac12[/tex3]

logo a soma pedida é:
[tex3]\frac11+\frac12 + \frac12 =2[/tex3]

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[tex3]\frac11+\frac12 + \frac12 =2[/tex3]