(Polya Competition - 97) Equações diofantinas lineares

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Deleted User 23699: Última visita: 31-12-69

Set 2020 08 11:20

(Polya Competition - 97) Equações diofantinas lineares

Mensagem não lidapor Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 11:20

Mensagem não lida por Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 11:20

Em uma prova de múltipla escolha com 30 questões uma resposta correta, nenhuma resposta e uma resposta incorreta recebem 5, 2 e 0 pontos, respectivamente. Quantas pontuações diferentes são possíveis nesta prova?

Resposta

145

OBS: Resolva usando o máximo possível de equações diofantinas lineares (ao invés de combinatória).

Deleted User 23699

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Últ. msg por Deleted User 23699 « 08 Set 2020, 10:27
Enviado em Olimpíadas

por Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 10:27 » em Olimpíadas

Seja C o conjunto dos inteiros não negativos que podem ser expressos como 1999s+2000t, onde s e t são também inteiros não negativos.
a) Mostre que 3994001 não pertence a C.
b) Mostre que se 0\leq...

0 Resp.

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Últ. msg por Deleted User 23699
08 Set 2020, 10:27
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por Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 10:28 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Quantos números entre 1 e 1000 inclusive podem decompor-se em soma de um múltiplo positivo de 7 mais um múltiplo positivo de 4?

Últ. msg

Acho que teu gabarito tá errado.

Todo número maior que 28 satisfaz o enunciado.

A prova segue o mesmo raciocínio empregado nesta questão
Desde que \operatorname{mdc}(7,4) = 1 qualquer inteiro...

1 Resp.

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Últ. msg por Deleted User 24633
08 Set 2020, 14:41
Nova mensagem (África do Sul - 94) Equações diofantinas lineares

Últ. msg por Deleted User 24633 « 08 Set 2020, 13:35
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 10:29 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Qual é o maior inteiro positivo que não pode ser expresso na forma 5x+7y, com x e y inteiros positivos?

Últ. msg

Considere a equação diofantina (em inteiros x,y,t ) genérica 5 x + 7y = t~(*). Uma solução trivial é (x= 3t; ~y=-2t) e logo todas as soluções são da forma (x=3t -7k;~ y= -2t +5k) onde k representa um...

1 Resp.

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Últ. msg por Deleted User 24633
08 Set 2020, 13:35
Nova mensagem (OBM - 79) Equações diofantinas lineares

Últ. msg por Deleted User 24633 « 08 Set 2020, 11:35
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 10:31 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Mostre que o número de soluções inteiras positivas da equação x_1+8x_2+27x_3+...+1000x_{10}=3025 (*) é igual ao número de soluções inteiras não negativas de y_1+8y_2+27y_3+...+1000y_{10}=0 . Usando...

Últ. msg

Minha intuição me disse que 1 + 8 + 27 + ... 1.000 = 3.025. Existe uma fórmula para isso: \displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left ^2 (que pode ser provada por Indução.)

De fato 1 + 8 + 27 + \dots +...

1 Resp.

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Últ. msg por Deleted User 24633
08 Set 2020, 11:35
Nova mensagem (Vietnã - 74) Equações diofantinas lineares

Últ. msg por goncalves3718 « 24 Set 2020, 13:42
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Deleted User 23699 » 08 Set 2020, 11:18 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

a) Quantos inteiros positivos n são tais que n é divisível por 8 e n + 1 é divisível por 25?
b) Quantos inteiros positivos n são tais que n é divisível por 21 e n+1 é divisível por 165?
c) Determine...

Últ. msg

a) Se n é divisível por 8 e n+1 por 25 , podemos dizer que:

8|n \implies n = 8k , k\in \mathbb{N}

25|n+1 \implies n+1= 25q , q \in \mathbb{N}

Perceba que (n+1) - n =1 .
Logo:

25q -8k = 1...

1 Resp.

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Últ. msg por goncalves3718
24 Set 2020, 13:42

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