Sejam x e y números reais, mostre que:
[tex3][2x]+[2y]\geq [x]+[y]+[x+y][/tex3]
OBS: Considere [ ] como a função máximo inteiro. Ou seja, [5,20] = 5
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ (Rufino) Função máximo inteiro Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Deleted User 23699
- Última visita: 31-12-69
Set 2020
07
17:52
Re: (Rufino) Função máximo inteiro
Slader:
Caso contrário, os lados esquerdo e direito fornecem respostas iguais."
Não vejo isso como uma demonstração.
"Se o valor da parte fracionária de x ou y for maior que 0,5, o lado direito se torna maior do que o lado esquerdo em 1.
Caso contrário, os lados esquerdo e direito fornecem respostas iguais."
Não vejo isso como uma demonstração.
-
AnthonyC
- Mensagens: 964
- Registrado em: 09 Fev 2018, 19:43
- Última visita: 21-02-24
- Agradeceu: 1 vez
- Agradeceram: 2 vezes
Set 2020
28
18:02
Re: (Rufino) Função máximo inteiro
Vamos reescrever os números:
Sendo assim, podemos ver que:
[tex3]\lfloor x\rfloor=m[/tex3] e [tex3]\lfloor y\rfloor=n[/tex3]
Vamos agora estudar os valores [tex3]\delta[/tex3] e [tex3]\varepsilon[/tex3] em casos:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \geq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
- [tex3]x=m+\delta[/tex3], onde [tex3]m[/tex3] é um inteiro e [tex3]0\leq\delta\lt 1[/tex3]
- [tex3]y=n+\varepsilon[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é um inteiro e [tex3]0\leq\varepsilon\lt 1[/tex3]
Sendo assim, podemos ver que:
[tex3]\lfloor x\rfloor=m[/tex3] e [tex3]\lfloor y\rfloor=n[/tex3]
Vamos agora estudar os valores [tex3]\delta[/tex3] e [tex3]\varepsilon[/tex3] em casos:
- Se [tex3]0\leq \delta,\varepsilon<{1\over2}[/tex3]:
Somando os dois, temos:
[tex3]0\leq \delta+\varepsilon<{1}[/tex3]
[tex3]m+n\leq m+n+\delta+\varepsilon< m+n+ {1}[/tex3]
[tex3]m+n\leq x+y< m+n+ {1}[/tex3]
Assim, temos que [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n[/tex3]. Logo, o lado direito da nossa inequação fica:
[tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n[/tex3]
Também temos que:
[tex3]0\leq\delta<{1\over2}[/tex3]
[tex3]m\leq m+\delta< m+{1\over2}[/tex3]
[tex3]m\leq x< m+{1\over2}[/tex3]
[tex3]2m\leq 2x< 2m+1[/tex3]
Assim, [tex3]\lfloor 2x\rfloor =2m[/tex3] e, analogamente, [tex3]\lfloor 2y\rfloor =2n[/tex3]. Portanto o lado esquerdo da inequação fica:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =2m+2n[/tex3]
Então, neste caso, temos:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
- Se [tex3]{1\over2}\leq \delta,\varepsilon<{1}[/tex3]:
Somando os dois, temos:
[tex3]{1}\leq \delta+\varepsilon<{2}[/tex3]
[tex3]m+n+1\leq m+n+\delta+\varepsilon< m+n+ {2}[/tex3]
[tex3]m+n+1\leq x+y< m+n+ {2}[/tex3]
Assim, temos que [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n+1[/tex3]. Logo, o lado direito da nossa inequação fica:
[tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n+1[/tex3]
Também temos que:
[tex3]{1\over2}\leq\delta<{1}[/tex3]
[tex3]m+{1\over2}\leq m+\delta< m+{1}[/tex3]
[tex3]m+{1\over2}\leq x< m+{1}[/tex3]
[tex3]2m+1\leq 2x< 2m+2[/tex3]
Assim, [tex3]\lfloor 2x\rfloor =2m+1[/tex3] e, analogamente, [tex3]\lfloor 2y\rfloor =2n+1[/tex3]. Portanto o lado esquerdo da inequação fica:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =2m+2n+2[/tex3]
Então, neste caso, temos:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \gt\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
- Se [tex3]{0}\leq \delta<{1\over2}[/tex3] e [tex3]{1\over2}\leq \varepsilon<{1}[/tex3]:
Temos que:
[tex3]{0}\leq\delta<{1\over2}[/tex3]
Como vimos antes, isso resulta em [tex3]\lfloor 2x\rfloor =2m[/tex3].
[tex3]{1\over2}\leq\varepsilon<{1}[/tex3]
Como já vimos, isso resulta em [tex3]\lfloor 2y\rfloor =2n+1[/tex3]
Portanto o lado esquerdo da inequação fica:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor =2m+2n+1[/tex3]
Somando os dois, temos:
[tex3]{1\over2}\leq \delta+\varepsilon<{3\over2}[/tex3]
[tex3]m+n+{1\over2}\leq m+n+\delta+\varepsilon< m+n+ {3\over2}[/tex3]
[tex3]m+n < m+n+{1\over2}\leq x+y< m+n+ {3\over2}< m+n+2[/tex3]
[tex3]m+n < x+y< m+n+2[/tex3]
Assim, temos duas possibilidades [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n[/tex3] ou [tex3]\lfloor x+y\rfloor=m+n+1[/tex3]. Então, o lado direito da nossa inequação fica:
[tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n[/tex3]
ou
[tex3]\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor=2m+2n+1[/tex3]
Então temos:
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \geq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
[tex3]\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 2y\rfloor \geq\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor x+y\rfloor[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
