Ensino Superior

Considere a expressão 𝐶(𝑥)= [tex3]\frac{√2𝑥+8+√|𝑥−2|−1}{𝑥−√𝑥+12}[/tex3] , 𝑥∈ℝ. Determine o seu domínio.Dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum).

BoaTarde, não possuo o gabarito.

[tex3]\frac{\sqrt{2𝑥+8}+\sqrt{|𝑥−2|−1}}{𝑥−\sqrt{𝑥+12}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{a}[/tex3] tem domínio [tex3]a\geq 0[/tex3]
frações tem dominio [tex3]\frac{a}{b}, b\neq0[/tex3]
ou seja com isso vamos ter
[tex3]𝑥−\sqrt{𝑥+12}\neq 0\\
x\neq \sqrt{x+12}[/tex3]
[tex3]2x+8\geq0\\
2x\geq-8\\x\geq-4[/tex3]
que podemos escrever na notação de intervalos como
[tex3][-4,\infty) [/tex3]
[tex3]|𝑥−2|−1\geq0\\|x-2|\geq1[/tex3]
ai usando
[tex3]|a|\geq b \iff a\geq b\ ou\ a\leq-b[/tex3]
vamos ter
[tex3]x-2\geq1 \ ou\ x-2\leq -1[/tex3]
com isso vamos ter [tex3][3, \infty )\cup(-\infty, 1][/tex3]
[tex3]x+12\geq 0\\ x\geq-12[/tex3]
[tex3][-12, \infty )[/tex3]
ai vamos pegar a interseção com entre tudo isso
[tex3][-12, \infty )\cap ([3, \infty )\cup(-\infty, 1])\cap [-4,\infty)[/tex3]
faça uma reta numérica e marque esses intervalos
no final vamos ter o intevalo
[tex3][-4, 1]\cup[3, \infty)[/tex3]
mas ainda temos que considerea o valor de x que faz o numerador zerar, vamos considerar isso como uma equação onde estamos tentando achar o zero, ai onde acharmos o zero, simplesmente tiramos ele do dominio, então temos
[tex3]x= \sqrt{x+12}\\
x^2=x+12\\
x^2-x-12=0\\
(x-4)(x+3)=0[/tex3]
e vemos que as raizes são -3 e 4, porém o -3 não serve pois a raiz de qualquer numero real é positiva, então temos que tirar somente o 4 do nosso dominio
[tex3]\{x|-4\leq x\leq 1 \ ou\ 3\leq x< 4 \ ou\ x> 4\} [/tex3]

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